Решите систему уравнений: \(\begin{cases} \frac{2a}{3} + \frac{5b}{12} = \frac{7}{6} \\ \frac{2a}{5} = \frac{4}{5} - \frac{3b}{10} \end{cases}\)

Решение:

1. Шаг 1: Умножим первое уравнение на 12, чтобы избавиться от знаменателей. \[ 12 \left(\frac{2a}{3} + \frac{5b}{12}\right) = 12 \left(\frac{7}{6}\right) \] \[ 8a + 5b = 14 \]
2. Шаг 2: Умножим второе уравнение на 10, чтобы избавиться от знаменателей. \[ 10 \left(\frac{2a}{5}\right) = 10 \left(\frac{4}{5} - \frac{3b}{10}\right) \] \[ 4a = 8 - 3b \] \[ 4a + 3b = 8 \]
3. Шаг 3: Теперь у нас есть новая система уравнений: \[ \begin{cases} 8a + 5b = 14 \\ 4a + 3b = 8 \end{cases} \]
4. Шаг 4: Умножим второе уравнение новой системы на 2, чтобы привести коэффициенты при $$a$$ к одному значению. \[ 2(4a + 3b) = 2(8) \] \[ 8a + 6b = 16 \]
5. Шаг 5: Вычтем первое уравнение из второго. \[ (8a + 6b) - (8a + 5b) = 16 - 14 \] \[ b = 2 \]
6. Шаг 6: Подставим найденное значение $$b$$ в любое из уравнений новой системы. Возьмем $$4a + 3b = 8$$. \[ 4a + 3(2) = 8 \] \[ 4a + 6 = 8 \] \[ 4a = 2 \] \[ a = \frac{1}{2} \]

Ответ: $$a = \frac{1}{2}, b = 2$$