Решите систему уравнений: \(\begin{cases} \frac{2m}{5} + \frac{n}{3} = 1 \\ \frac{m}{10} - \frac{7n}{6} = 4 \end{cases}\)

Решение:

Система уравнений:

• \(\frac{2m}{5} + \frac{n}{3} = 1\)
• \(\frac{m}{10} - \frac{7n}{6} = 4\)

Умножим первое уравнение на 15 (наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 3), а второе — на 30 (наименьшее общее кратное знаменателей 10 и 6), чтобы избавиться от дробей:

• \(15 \cdot (\frac{2m}{5} + \frac{n}{3}) = 15 \cdot 1 \Rightarrow 6m + 5n = 15\)
• \(30 \cdot (\frac{m}{10} - \frac{7n}{6}) = 30 \cdot 4 \Rightarrow 3m - 35n = 120\)

Теперь решаем полученную систему:

• \(6m + 5n = 15\)
• \(3m - 35n = 120\)

Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при \(m\) стали одинаковыми:

• \(6m + 5n = 15\)
• \(2 \cdot (3m - 35n) = 2 \cdot 120 \Rightarrow 6m - 70n = 240\)

Вычтем второе уравнение из первого:

• \((6m + 5n) - (6m - 70n) = 15 - 240\)
• \(6m + 5n - 6m + 70n = -225\)
• \(75n = -225\)
• \(n = \frac{-225}{75} \Rightarrow n = -3\)

Подставим значение \(n = -3\) в первое уравнение \(6m + 5n = 15\):

• \(6m + 5(-3) = 15\)
• \(6m - 15 = 15\)
• \(6m = 15 + 15\)
• \(6m = 30\)
• \(m = \frac{30}{6} \Rightarrow m = 5\)

Проверим решение, подставив \(m=5\) и \(n=-3\) во второе исходное уравнение \(\frac{m}{10} - \frac{7n}{6} = 4\):

• \(\frac{5}{10} - \frac{7(-3)}{6} = \frac{1}{2} - \frac{-21}{6} = \frac{1}{2} + \frac{21}{6} = \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = \frac{1+7}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

Решение верно.

Ответ: \(m = 5, n = -3\).