Решите систему уравнений: \(\begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -4 \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{4} = -2 \end{cases}\)

Привет! Давай разберемся с этой системой уравнений. Она выглядит страшно, но на самом деле решается довольно просто. Смотри:

Шаг 1: Избавляемся от дробей

Чтобы нам было удобнее работать, умножим каждое уравнение на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей.

Первое уравнение:

Умножаем обе части уравнения \(\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -4\) на 6 (общий знаменатель для 3 и 2):

\[ 6 \cdot \left( \frac{x}{3} - \frac{y}{2} \right) = 6 \cdot (-4) \]

\[ 2x - 3y = -24 \]

Второе уравнение:

Умножаем обе части уравнения \(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} = -2\) на 4 (общий знаменатель для 2 и 4):

\[ 4 \cdot \left( \frac{x}{2} + \frac{y}{4} \right) = 4 \cdot (-2) \]

\[ 2x + y = -8 \]

Шаг 2: Решаем полученную систему методом вычитания

Теперь у нас есть более простая система:

\[ \begin{cases} 2x - 3y = -24 \\ 2x + y = -8 \end{cases} \]

Заметим, что коэффициенты при x одинаковые (обе равны 2). Это значит, мы можем вычесть одно уравнение из другого, чтобы избавиться от x.

Вычтем второе уравнение из первого:

\[ (2x - 3y) - (2x + y) = -24 - (-8) \]

\[ 2x - 3y - 2x - y = -24 + 8 \]

\[ -4y = -16 \]

Теперь найдем y, разделив обе части на -4:

\[ y = \frac{-16}{-4} \]

\[ y = 4 \]

Шаг 3: Находим x

Мы нашли значение y. Теперь подставим его в любое из упрощенных уравнений, чтобы найти x. Возьмем второе уравнение: \(2x + y = -8\).

\[ 2x + 4 = -8 \]

Вычтем 4 из обеих частей:

\[ 2x = -8 - 4 \]

\[ 2x = -12 \]

Разделим обе части на 2:

\[ x = \frac{-12}{2} \]

\[ x = -6 \]

Шаг 4: Проверка (необязательно, но полезно!)

Подставим найденные значения x = -6 и y = 4 в исходные уравнения:

Первое уравнение:

\[ \frac{-6}{3} - \frac{4}{2} = -2 - 2 = -4 \]

Верно!

Второе уравнение:

\[ \frac{-6}{2} + \frac{4}{4} = -3 + 1 = -2 \]

Верно!

Ответ: x = -6, y = 4