Решите систему уравнений: \(\begin{cases} \frac{y-4}{x+y-8} = 2 \\ (x-4)(y-6) = 0 \end{cases}\)

Решение:

Рассмотрим второе уравнение системы: \( (x-4)(y-6) = 0 \). Это уравнение выполняется, если \( x-4=0 \) или \( y-6=0 \).

Случай 1: \( x = 4 \)

Подставим \( x = 4 \) в первое уравнение:

\( \frac{y-4}{4+y-8} = 2 \)

\( \frac{y-4}{y-4} = 2 \)

Это равенство верно только при \( y-4 \neq 0 \), то есть \( y \neq 4 \). В этом случае \( 1 = 2 \), что является неверным утверждением. Следовательно, решений в этом случае нет.

Случай 2: \( y = 6 \)

Подставим \( y = 6 \) в первое уравнение:

\( \frac{6-4}{x+6-8} = 2 \)

\( \frac{2}{x-2} = 2 \)

При условии, что \( x-2 \neq 0 \), то есть \( x \neq 2 \).

Умножим обе части уравнения на \( x-2 \):

\( 2 = 2(x-2) \)

\( 2 = 2x - 4 \)

\( 2x = 6 \)

\( x = 3 \)

Полученное значение \( x = 3 \) удовлетворяет условию \( x \neq 2 \).

Таким образом, мы получили решение \( (3; 6) \).

Проверка:

Подставим \( x = 3, y = 6 \) в исходную систему:

Первое уравнение: \( \frac{6-4}{3+6-8} = \frac{2}{1} = 2 \) (верно).

Второе уравнение: \( (3-4)(6-6) = (-1)(0) = 0 \) (верно).

Ответ: (3; 6).