Решите систему уравнений: \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 40 \\ xy = -12 \end{cases}\)

Решение:

1. Данная система уравнений:
   • \( x^2 + y^2 = 40 \)
   • \( xy = -12 \)
2. Из второго уравнения выразим \( y \) через \( x \): \( y = \frac{-12}{x} \).
3. Подставим это выражение в первое уравнение: \( x^2 + \left(\frac{-12}{x}\right)^2 = 40 \).
4. Упростим: \( x^2 + \frac{144}{x^2} = 40 \).
5. Умножим обе части уравнения на \( x^2 \) (при условии \( x \neq 0 \)): \( x^4 + 144 = 40x^2 \).
6. Перенесём все члены в одну сторону: \( x^4 - 40x^2 + 144 = 0 \).
7. Сделаем замену переменной: пусть \( t = x^2 \). Тогда получим квадратное уравнение относительно \( t \): \( t^2 - 40t + 144 = 0 \).
8. Решим квадратное уравнение для \( t \) с помощью дискриминанта: \( D = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 1600 - 576 = 1024 \).
9. \( \sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32 \).
10. Найдем корни для \( t \):
    • \( t_1 = \frac{40 + 32}{2} = \frac{72}{2} = 36 \)
    • \( t_2 = \frac{40 - 32}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
11. Теперь найдём значения \( x \), подставив \( t = x^2 \):
    • \( x^2 = 36 \) \(\Rightarrow\) \( x_1 = 6, x_2 = -6 \)
    • \( x^2 = 4 \) \(\Rightarrow\) \( x_3 = 2, x_4 = -2 \)
12. Найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \), используя \( y = -12/x \):
    • Если \( x_1 = 6 \), то \( y_1 = -12/6 = -2 \).
    • Если \( x_2 = -6 \), то \( y_2 = -12/(-6) = 2 \).
    • Если \( x_3 = 2 \), то \( y_3 = -12/2 = -6 \).
    • Если \( x_4 = -2 \), то \( y_4 = -12/(-2) = 6 \).

Ответ: (6; -2), (-6; 2), (2; -6), (-2; 6).