Решите систему уравнений: $$\begin{cases} x + 2y = 11 \\ xy = 14 \end{cases}$$

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы с вами решим систему уравнений. Давайте внимательно посмотрим на условия задачи. Нам даны два уравнения: первое уравнение $$x + 2y = 11$$, а второе $$xy = 14$$. Наша задача – найти значения $$x$$ и $$y$$, которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

**Шаг 1: Выразим одну переменную через другую**

Из первого уравнения можно выразить $$x$$ через $$y$$:

$$x = 11 - 2y$$

**Шаг 2: Подставим выражение в другое уравнение**

Теперь подставим это выражение для $$x$$ во второе уравнение:

$$(11 - 2y)y = 14$$

**Шаг 3: Решим квадратное уравнение**

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$$11y - 2y^2 = 14$$

$$2y^2 - 11y + 14 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать формулу для корней квадратного уравнения:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

В нашем случае $$a = 2$$, $$b = -11$$, $$c = 14$$. Подставим значения:

$$y = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 14}}{2 \cdot 2} = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 112}}{4} = \frac{11 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{11 \pm 3}{4}$$

Таким образом, у нас два возможных значения для $$y$$:

$$y_1 = \frac{11 + 3}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$$

$$y_2 = \frac{11 - 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

**Шаг 4: Найдём соответствующие значения x**

Теперь найдём соответствующие значения $$x$$ для каждого из значений $$y$$, используя выражение $$x = 11 - 2y$$:

Для $$y_1 = 3.5$$:

$$x_1 = 11 - 2 \cdot 3.5 = 11 - 7 = 4$$

Для $$y_2 = 2$$:

$$x_2 = 11 - 2 \cdot 2 = 11 - 4 = 7$$

**Шаг 5: Запишем ответ**

Итак, мы нашли два решения системы уравнений:

1) $$x = 4$$, $$y = 3.5$$
2) $$x = 7$$, $$y = 2$$

**Ответ:**

Система уравнений имеет два решения: (4, 3.5) и (7, 2).

Надеюсь, это понятно! Если у вас есть вопросы, задавайте!