385. Решите систему уравнений графически и аналитически: a) {x² + y² = 16, x - y = 4; б) {y = x² + 1, x + 2y = 5.

a) Решим систему уравнений графически и аналитически:

Система уравнений:

$$x^2 + y^2 = 16,$$

$$x - y = 4.$$

Выразим x через y из второго уравнения:

$$x = y + 4.$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$(y + 4)^2 + y^2 = 16,$$

$$y^2 + 8y + 16 + y^2 = 16,$$

$$2y^2 + 8y = 0,$$

$$2y(y + 4) = 0.$$

Отсюда получаем два возможных значения для y:

$$y_1 = 0,$$

$$y_2 = -4.$$

Теперь найдем соответствующие значения x:

Для $$y_1 = 0,$$

$$x_1 = y_1 + 4 = 0 + 4 = 4.$$

Для $$y_2 = -4,$$

$$x_2 = y_2 + 4 = -4 + 4 = 0.$$

Итак, у нас есть два решения:

$$(4, 0),$$

$$(0, -4).$$

Графически первое уравнение представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом 4. Второе уравнение представляет собой прямую линию. Решения системы соответствуют точкам пересечения окружности и прямой.

б) Решим систему уравнений:

$$y = x^2 + 1,$$

$$x + 2y = 5.$$

Выразим x через y из второго уравнения:

$$x = 5 - 2y.$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$y = (5 - 2y)^2 + 1,$$

$$y = 25 - 20y + 4y^2 + 1,$$

$$4y^2 - 21y + 26 = 0.$$

Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант:

$$D = (-21)^2 - 4 Imes 4 Imes 26 = 441 - 416 = 25.$$

Корень из дискриминанта:

$$\sqrt{D} = 5.$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{21 + 5}{8} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} = 3.25,$$

$$y_2 = \frac{21 - 5}{8} = \frac{16}{8} = 2.$$

Теперь найдем соответствующие значения x:

Для $$y_1 = 3.25,$$

$$x_1 = 5 - 2 Imes 3.25 = 5 - 6.5 = -1.5.$$

Для $$y_2 = 2,$$

$$x_2 = 5 - 2 Imes 2 = 5 - 4 = 1.$$

Итак, у нас есть два решения:

$$(-1.5, 3.25),$$

$$(1, 2).$$

Графически первое уравнение представляет собой параболу, а второе уравнение представляет собой прямую линию. Решения системы соответствуют точкам пересечения параболы и прямой.

Ответ: a) $$(4, 0), (0, -4)$$, б) $$(-1.5, 3.25), (1, 2)$$