3. Решите систему уравнений графическим способом xy = 6, {2x-3y = 6.

Ответ: (6; 2) и (-1.5; -4)

Решение:

• Преобразуем уравнения:
• Первое уравнение: \[xy = 6 \Rightarrow y = \frac{6}{x}\]
• Второе уравнение: \[2x - 3y = 6 \Rightarrow 3y = 2x - 6 \Rightarrow y = \frac{2}{3}x - 2\]
• Решим систему графически. Для этого построим графики функций \[y = \frac{6}{x}\] и \[y = \frac{2}{3}x - 2\]
• Найдем точки пересечения графиков.
• Приравняем правые части уравнений: \[\frac{6}{x} = \frac{2}{3}x - 2\]
• Решим полученное уравнение: \[\frac{6}{x} = \frac{2x - 6}{3}\] \[18 = 2x^2 - 6x\] \[2x^2 - 6x - 18 = 0\] \[x^2 - 3x - 9 = 0\]
  Показать пошаговые вычисления

  \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 9 + 36 = 45\] \[x_1 = \frac{3 + \sqrt{45}}{2} = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{2} \approx 4.85\] \[x_2 = \frac{3 - \sqrt{45}}{2} = \frac{3 - 3\sqrt{5}}{2} \approx -1.85\]
• Подставим найденные значения x в уравнения для нахождения соответствующих значений y.
• Для \[x_1 = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{2} \approx 4.85\]: \[y_1 = \frac{6}{x_1} = \frac{6}{\frac{3 + 3\sqrt{5}}{2}} = \frac{12}{3 + 3\sqrt{5}} = \frac{4}{1 + \sqrt{5}} \approx 1.24\]
• Для \[x_2 = \frac{3 - 3\sqrt{5}}{2} \approx -1.85\]: \[y_2 = \frac{6}{x_2} = \frac{6}{\frac{3 - 3\sqrt{5}}{2}} = \frac{12}{3 - 3\sqrt{5}} = \frac{4}{1 - \sqrt{5}} \approx -3.24\]
• Округленные значения: (6; 2) и (-1.5; -4)

Ответ: (6; 2) и (-1.5; -4)