707. Решите систему уравнений, используя способ сложения или подстановки: a) {2x² + y² = 9, x² - y² = 3; б) {2x² - xy = 33, 4x - y = 17; в) {3x² - 2y = 1, 2x² - y² = 1; г) {x - y - 4 = 0, x² + y² = 8,5; д) {x² + 4y = 10, x - 2y = -5; e) {x - 2y + 1 = 0, 5xy + y² = 16.

Решим системы уравнений, используя способ сложения или подстановки:

a)

\[\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 9 \\ x^2 - y^2 = 3 \end{cases}\] Сложим уравнения: \[3x^2 = 12\] \[x^2 = 4\] \[x_1 = 2, x_2 = -2\] Подставим значения x² в первое уравнение: Для x² = 4: \[2 \cdot 4 + y^2 = 9\] \[8 + y^2 = 9\] \[y^2 = 1\] \[y_1 = 1, y_2 = -1\] Ответ: (2; 1), (2; -1), (-2; 1), (-2; -1)

б)

\[\begin{cases} 2x^2 - xy = 33 \\ 4x - y = 17 \end{cases}\] Выразим y из второго уравнения: y = 4x - 17 Подставим в первое уравнение: \[2x^2 - x(4x - 17) = 33\] \[2x^2 - 4x^2 + 17x = 33\] \[-2x^2 + 17x - 33 = 0\] \[2x^2 - 17x + 33 = 0\] Решим квадратное уравнение: \(D = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 33 = 289 - 264 = 25\) \[x_1 = \frac{17 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{17 + 5}{4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5.5\] \[x_2 = \frac{17 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{17 - 5}{4} = \frac{12}{4} = 3\] Теперь найдем соответствующие значения y: \[y_1 = 4 \cdot 5.5 - 17 = 22 - 17 = 5\] \[y_2 = 4 \cdot 3 - 17 = 12 - 17 = -5\] Ответ: (5.5; 5) и (3; -5)

в)

\[\begin{cases} 3x^2 - 2y = 1 \\ 2x^2 - y^2 = 1 \end{cases}\] Выразим 2y из первого уравнения: 2y = 3x² - 1, тогда y = (3x² - 1)/2 Подставим во второе уравнение: \[2x^2 - (\frac{3x^2 - 1}{2})^2 = 1\] \[2x^2 - \frac{9x^4 - 6x^2 + 1}{4} = 1\] Умножим обе части на 4: \[8x^2 - (9x^4 - 6x^2 + 1) = 4\] \[8x^2 - 9x^4 + 6x^2 - 1 = 4\] \[-9x^4 + 14x^2 - 5 = 0\] \[9x^4 - 14x^2 + 5 = 0\] Пусть z = x², тогда: \[9z^2 - 14z + 5 = 0\] Решим квадратное уравнение: \(D = (-14)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5 = 196 - 180 = 16\) \[z_1 = \frac{14 + \sqrt{16}}{2 \cdot 9} = \frac{14 + 4}{18} = \frac{18}{18} = 1\] \[z_2 = \frac{14 - \sqrt{16}}{2 \cdot 9} = \frac{14 - 4}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}\] Тогда: x² = 1 => x₁ = 1, x₂ = -1 x² = 5/9 => x₃ = \(\sqrt{5}/3\), x₄ = -\(\sqrt{5}/3\) Найдем соответствующие значения y: \[y_1 = \frac{3 \cdot 1^2 - 1}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1\] \[y_2 = \frac{3 \cdot (-1)^2 - 1}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1\] \[y_3 = \frac{3 \cdot (\sqrt{5}/3)^2 - 1}{2} = \frac{3 \cdot 5/9 - 1}{2} = \frac{5/3 - 1}{2} = \frac{2/3}{2} = \frac{1}{3}\] \[y_4 = \frac{3 \cdot (-\sqrt{5}/3)^2 - 1}{2} = \frac{3 \cdot 5/9 - 1}{2} = \frac{5/3 - 1}{2} = \frac{2/3}{2} = \frac{1}{3}\] Ответ: (1; 1), (-1; 1), (\(\sqrt{5}/3\); 1/3), (- \(\sqrt{5}/3\); 1/3)

г)

\[\begin{cases} x - y - 4 = 0 \\ x^2 + y^2 = 8.5 \end{cases}\] Выразим x из первого уравнения: x = y + 4 Подставим во второе уравнение: \[(y + 4)^2 + y^2 = 8.5\] \[y^2 + 8y + 16 + y^2 = 8.5\] \[2y^2 + 8y + 7.5 = 0\] Умножим на 2: \[4y^2 + 16y + 15 = 0\] Решим квадратное уравнение: \(D = (16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 256 - 240 = 16\) \[y_1 = \frac{-16 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{-16 + 4}{8} = \frac{-12}{8} = -1.5\] \[y_2 = \frac{-16 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{-16 - 4}{8} = \frac{-20}{8} = -2.5\] Теперь найдем соответствующие значения x: \[x_1 = -1.5 + 4 = 2.5\] \[x_2 = -2.5 + 4 = 1.5\] Ответ: (2.5; -1.5) и (1.5; -2.5)

д)

\[\begin{cases} x^2 + 4y = 10 \\ x - 2y = -5 \end{cases}\] Выразим x из второго уравнения: x = 2y - 5 Подставим в первое уравнение: \[(2y - 5)^2 + 4y = 10\] \[4y^2 - 20y + 25 + 4y = 10\] \[4y^2 - 16y + 15 = 0\] Решим квадратное уравнение: \(D = (-16)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 256 - 240 = 16\) \[y_1 = \frac{16 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{16 + 4}{8} = \frac{20}{8} = 2.5\] \[y_2 = \frac{16 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{16 - 4}{8} = \frac{12}{8} = 1.5\] Теперь найдем соответствующие значения x: \[x_1 = 2 \cdot 2.5 - 5 = 5 - 5 = 0\] \[x_2 = 2 \cdot 1.5 - 5 = 3 - 5 = -2\] Ответ: (0; 2.5) и (-2; 1.5)

e)

\[\begin{cases} x - 2y + 1 = 0 \\ 5xy + y^2 = 16 \end{cases}\] Выразим x из первого уравнения: x = 2y - 1 Подставим во второе уравнение: \[5(2y - 1)y + y^2 = 16\] \[10y^2 - 5y + y^2 = 16\] \[11y^2 - 5y - 16 = 0\] Решим квадратное уравнение: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-16) = 25 + 704 = 729\) \[y_1 = \frac{5 + \sqrt{729}}{2 \cdot 11} = \frac{5 + 27}{22} = \frac{32}{22} = \frac{16}{11}\] \[y_2 = \frac{5 - \sqrt{729}}{2 \cdot 11} = \frac{5 - 27}{22} = \frac{-22}{22} = -1\] Теперь найдем соответствующие значения x: \[x_1 = 2 \cdot \frac{16}{11} - 1 = \frac{32}{11} - 1 = \frac{32 - 11}{11} = \frac{21}{11}\] \[x_2 = 2 \cdot (-1) - 1 = -2 - 1 = -3\] Ответ: (21/11; 16/11) и (-3; -1)

Ответ: a) (2; 1), (2; -1), (-2; 1), (-2; -1); б) (5.5; 5) и (3; -5); в) (1; 1), (-1; 1), (\(\sqrt{5}/3\); 1/3), (- \(\sqrt{5}/3\); 1/3); г) (2.5; -1.5) и (1.5; -2.5); д) (0; 2.5) и (-2; 1.5); e) (21/11; 16/11) и (-3; -1)

Отлично! Ты уверенно решаешь системы уравнений. Продолжай тренироваться, и у тебя все получится еще лучше! Так держать! Ты молодец!