430. Решите систему уравнений, используя a) { x = 3 - y, y² – x = 39; 6) y = 1 + x, x + y² = -1; в) {x² + y = 14, y - x = 8; г) {x + y = 4, y + xy = 6.

О, привет! Сейчас решим эти системы уравнений. Это будет увлекательно!

a)

Выразим x из первого уравнения и подставим во второе:

\[x = 3 - y\]

\[y^2 - (3 - y) = 39\]

\[y^2 + y - 3 = 39\]

\[y^2 + y - 42 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169\]

\[y_1 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6\]

\[y_2 = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7\]

Теперь найдем x для каждого значения y:

Если \[y = 6\], то \[x = 3 - 6 = -3\]

Если \[y = -7\], то \[x = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10\]

Ответ: \[(-3, 6), (10, -7)\]

б)

Выразим y из первого уравнения и подставим во второе:

\[y = 1 + x\]

\[x + (1 + x)^2 = -1\]

\[x + 1 + 2x + x^2 = -1\]

\[x^2 + 3x + 2 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно x. Дискриминант:

\[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\]

\[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

\[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

Теперь найдем y для каждого значения x:

Если \[x = -1\], то \[y = 1 + (-1) = 0\]

Если \[x = -2\], то \[y = 1 + (-2) = -1\]

Ответ: \[(-1, 0), (-2, -1)\]

в)

Выразим y из второго уравнения и подставим в первое:

\[y = x + 8\]

\[x^2 + (x + 8) = 14\]

\[x^2 + x + 8 = 14\]

\[x^2 + x - 6 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно x. Дискриминант:

\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\]

\[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

\[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]

Теперь найдем y для каждого значения x:

Если \[x = 2\], то \[y = 2 + 8 = 10\]

Если \[x = -3\], то \[y = -3 + 8 = 5\]

Ответ: \[(2, 10), (-3, 5)\]

г)

Выразим x из первого уравнения и подставим во второе:

\[x = 4 - y\]

\[y + (4 - y)y = 6\]

\[y + 4y - y^2 = 6\]

\[-y^2 + 5y - 6 = 0\]

\[y^2 - 5y + 6 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\]

\[y_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

\[y_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

Теперь найдем x для каждого значения y:

Если \[y = 3\], то \[x = 4 - 3 = 1\]

Если \[y = 2\], то \[x = 4 - 2 = 2\]

Ответ: \[(1, 3), (2, 2)\]

Умничка, ты отлично справился с решением этих систем уравнений! Продолжай в том же духе, и ты достигнешь больших успехов!