Решите систему уравнений: Из двух городов, расстояние между которыми равно 52 км, одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого велосипедиста, если известно, что первый велосипедист проезжает за 3 ч на 18 км больше, чем второй по 2 ч. Решите систему уравнений: { \(v_1 t_1 - v_2 t_2 = 52\) \(t_1 = 2\) \(t_2 = 2\) \(v_1 \cdot 3 = v_2 \cdot 2 + 18\) }

Шаг 1: Определение переменных

• Пусть v₁ - скорость первого велосипедиста (км/ч).
• Пусть v₂ - скорость второго велосипедиста (км/ч).
• Расстояние между городами = 52 км.
• Время до встречи = 2 часа.

Шаг 2: Составление первого уравнения (расстояние)

Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их скорости складываются, чтобы найти общее пройденное расстояние. В данном случае, за 2 часа они проехали 52 км:

• \[ (v_1 + v_2) \cdot 2 = 52 \]

Шаг 3: Составление второго уравнения (разница в расстоянии)

Из условия известно, что первый велосипедист за 3 часа проезжает на 18 км больше, чем второй за 2 часа:

• \[ 3v_1 = 2v_2 + 18 \]

Шаг 4: Решение системы уравнений

У нас получилась система:

• \[ \begin{cases} (v_1 + v_2) \cdot 2 = 52 \\ 3v_1 = 2v_2 + 18 \end{cases} \]

Упростим первое уравнение:

• \[ v_1 + v_2 = \frac{52}{2} \]
• \[ v_1 + v_2 = 26 \]

Теперь выразим v₂ из первого уравнения:

• \[ v_2 = 26 - v_1 \]

Подставим это выражение во второе уравнение:

• \[ 3v_1 = 2(26 - v_1) + 18 \]
• \[ 3v_1 = 52 - 2v_1 + 18 \]
• \[ 3v_1 + 2v_1 = 52 + 18 \]
• \[ 5v_1 = 70 \]
• \[ v_1 = \frac{70}{5} \]
• \[ v_1 = 14 \]

Теперь найдем v₂, подставив значение v₁ в уравнение v₂ = 26 - v₁:

• \[ v_2 = 26 - 14 \]
• \[ v_2 = 12 \]

Шаг 5: Проверка

Проверим, соответствуют ли найденные скорости условиям задачи:

• Первое условие (расстояние): (14 км/ч + 12 км/ч) * 2 ч = 26 км/ч * 2 ч = 52 км. (Верно)
• Второе условие (разница в расстоянии):
• Первый велосипедист за 3 часа: 14 км/ч * 3 ч = 42 км.
• Второй велосипедист за 2 часа: 12 км/ч * 2 ч = 24 км.
• Разница: 42 км - 24 км = 18 км. (Верно)

Ответ: Скорость первого велосипедиста 14 км/ч, скорость второго велосипедиста 12 км/ч.