Решите систему уравнений: \(\left(\frac{3}{2}\right)^{x-y}-\left(\frac{2}{3}\right)^{x-y}=\frac{65}{36}\); \(xy-x+y=118\).

Обозначим \(a=\left(\frac{3}{2}\right)^{x-y}\). Тогда \(\left(\frac{2}{3}\right)^{x-y}=\frac{1}{a}\), и первое уравнение принимает вид:

\[a-\frac{1}{a}=\frac{65}{36}.\]

Умножим на \(36a\):

\[36a^2-65a-36=0.\]

Дискриминант:

\[D=65^2+4\cdot36\cdot36=9409=97^2.\]

\[a=\frac{65\pm97}{72}.\]

Так как \(a>0\), получаем \(a=\frac{162}{72}=\frac94\). Следовательно,

\[\left(\frac32\right)^{x-y}=\left(\frac32\right)^2,\qquad x-y=2.\]

Из второго уравнения, учитывая \(y=x-2\), имеем:

\[x(x-2)-x+(x-2)=118,\]

\[x^2-2x-2=118,\qquad x^2-2x-120=0,\]

\[(x-12)(x+10)=0.\]

Отсюда \(x=12\) или \(x=-10\). Тогда \(y=x-2\):

при \(x=12\): \(y=10\); при \(x=-10\): \(y=-12\).

Ответ: \((12;10)\), \((-10;-12)\).