Решите систему уравнений методом алгебраического сложения: a) {5x - y = 4, -2x + y = 5; б) {3x + 5y = 10, 3x - 7y = 4; в) {x + 4y = -7, x - 9y = 6; г) {3x - 4y = -5, 6x + 4y = -1.

Решение:

Для решения систем уравнений методом алгебраического сложения сложим или вычтем уравнения так, чтобы одна из переменных взаимно уничтожилась.

а)

• \[ \begin{cases} 5x - y = 4 \\ -2x + y = 5 \end{cases} \]
• Сложим уравнения:
• \[ (5x - y) + (-2x + y) = 4 + 5 \]
• \[ 3x = 9 \]
• \[ x = 3 \]
• Подставим x = 3 в первое уравнение:
• \[ 5(3) - y = 4 \]
• \[ 15 - y = 4 \]
• \[ y = 15 - 4 \]
• \[ y = 11 \]

Ответ а): x = 3, y = 11

б)

• \[ \begin{cases} 3x + 5y = 10 \\ 3x - 7y = 4 \end{cases} \]
• Вычтем второе уравнение из первого:
• \[ (3x + 5y) - (3x - 7y) = 10 - 4 \]
• \[ 3x + 5y - 3x + 7y = 6 \]
• \[ 12y = 6 \]
• \[ y = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]
• Подставим y = 1/2 в первое уравнение:
• \[ 3x + 5\left(\frac{1}{2}\right) = 10 \]
• \[ 3x + \frac{5}{2} = 10 \]
• \[ 3x = 10 - \frac{5}{2} \]
• \[ 3x = \frac{20 - 5}{2} \]
• \[ 3x = \frac{15}{2} \]
• \[ x = \frac{15}{2 \times 3} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} \]

Ответ б): x = 5/2, y = 1/2

в)

• \[ \begin{cases} x + 4y = -7 \\ x - 9y = 6 \end{cases} \]
• Вычтем второе уравнение из первого:
• \[ (x + 4y) - (x - 9y) = -7 - 6 \]
• \[ x + 4y - x + 9y = -13 \]
• \[ 13y = -13 \]
• \[ y = -1 \]
• Подставим y = -1 в первое уравнение:
• \[ x + 4(-1) = -7 \]
• \[ x - 4 = -7 \]
• \[ x = -7 + 4 \]
• \[ x = -3 \]

Ответ в): x = -3, y = -1

г)

• \[ \begin{cases} 3x - 4y = -5 \\ 6x + 4y = -1 \end{cases} \]
• Сложим уравнения:
• \[ (3x - 4y) + (6x + 4y) = -5 + (-1) \]
• \[ 9x = -6 \]
• \[ x = \frac{-6}{9} = -\frac{2}{3} \]
• Подставим x = -2/3 в первое уравнение:
• \[ 3\left(-\frac{2}{3}\right) - 4y = -5 \]
• \[ -2 - 4y = -5 \]
• \[ -4y = -5 + 2 \]
• \[ -4y = -3 \]
• \[ y = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4} \]

Ответ г): x = -2/3, y = 3/4