Решите систему уравнений методом подстановки: 1) {2x - y = 1, 7x - 6y = -4; 2) {2x - 3y = 2, 4x - 5y = 1; 3) {2(x + 2y) - 3(x - y) = 5, 4(x + 3y) - 3y = 17; 4) {5x/3 - 3y/2 = 14, 2x/3 + y/2 = 10.

Задания:

• 1) Система уравнений:
  • \[ \begin{cases} 2x - y = 1 \\ 7x - 6y = -4 \end{cases} \]
  • Решение:
  1. Выразим y из первого уравнения: y = 2x - 1.
  2. Подставим это выражение во второе уравнение: 7x - 6(2x - 1) = -4.
  3. Раскроем скобки: 7x - 12x + 6 = -4.
  4. Приведем подобные слагаемые: -5x = -10.
  5. Найдем x: x = 2.
  6. Подставим значение x в выражение для y: y = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3.
  • Ответ: x = 2, y = 3.
• 2) Система уравнений:
  • \[ \begin{cases} 2x - 3y = 2 \\ 4x - 5y = 1 \end{cases} \]
  • Решение:
  1. Выразим x из первого уравнения: 2x = 3y + 2, следовательно, x = (3y + 2) / 2.
  2. Подставим это выражение во второе уравнение: 4((3y + 2) / 2) - 5y = 1.
  3. Упростим: 2(3y + 2) - 5y = 1.
  4. Раскроем скобки: 6y + 4 - 5y = 1.
  5. Приведем подобные слагаемые: y = -3.
  6. Подставим значение y в выражение для x: x = (3(-3) + 2) / 2 = (-9 + 2) / 2 = -7 / 2.
  • Ответ: x = -7/2, y = -3.
• 3) Система уравнений:
  • \[ \begin{cases} 2(x + 2y) - 3(x - y) = 5 \\ 4(x + 3y) - 3y = 17 \end{cases} \]
  • Решение:
  1. Раскроем скобки в первом уравнении: 2x + 4y - 3x + 3y = 5. Приведем подобные: -x + 7y = 5.
  2. Раскроем скобки во втором уравнении: 4x + 12y - 3y = 17. Приведем подобные: 4x + 9y = 17.
  3. Теперь у нас новая система:
     • \[ \begin{cases} -x + 7y = 5 \\ 4x + 9y = 17 \end{cases} \]
  4. Выразим x из первого уравнения: x = 7y - 5.
  5. Подставим это выражение во второе уравнение: 4(7y - 5) + 9y = 17.
  6. Раскроем скобки: 28y - 20 + 9y = 17.
  7. Приведем подобные слагаемые: 37y = 37.
  8. Найдем y: y = 1.
  9. Подставим значение y в выражение для x: x = 7(1) - 5 = 7 - 5 = 2.
  • Ответ: x = 2, y = 1.
• 4) Система уравнений:
  • \[ \begin{cases} \frac{5x}{3} - \frac{3y}{2} = 14 \\ \frac{2x}{3} + \frac{y}{2} = 10 \end{cases} \]
  • Решение:
  1. Умножим первое уравнение на 6 (общий знаменатель для 3 и 2), чтобы избавиться от дробей: 10x - 9y = 84.
  2. Умножим второе уравнение на 6: 4x + 3y = 60.
  3. Теперь у нас новая система:
     • \[ \begin{cases} 10x - 9y = 84 \\ 4x + 3y = 60 \end{cases} \]
  4. Из второго уравнения выразим 3y: 3y = 60 - 4x.
  5. Умножим первое уравнение на 1 (оставим как есть), а второе на 3, чтобы уравнять коэффициенты при y:
     • \[ \begin{cases} 10x - 9y = 84 \\ 12x + 9y = 180 \end{cases} \]
  6. Сложим оба уравнения: (10x - 9y) + (12x + 9y) = 84 + 180.
  7. Приведем подобные слагаемые: 22x = 264.
  8. Найдем x: x = 264 / 22 = 12.
  9. Подставим значение x во второе уравнение системы (4x + 3y = 60): 4(12) + 3y = 60.
  10. Упростим: 48 + 3y = 60.
  11. Найдем 3y: 3y = 60 - 48 = 12.
  12. Найдем y: y = 12 / 3 = 4.
  • Ответ: x = 12, y = 4.