Решите систему уравнений методом сложения: a) { 6x - 5y = -12; 4x + 3y = 30; б) { 3x + 5y = 7; 2x - 7y = 15.

Решение:

Задание а)

• Данная система уравнений:
  • \[ \begin{cases} 6x - 5y = -12 \\ 4x + 3y = 30 \end{cases} \]
• Для решения методом сложения, умножим первое уравнение на 3, а второе на 5, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:
  • \[ \begin{cases} (6x - 5y) \cdot 3 = -12 \cdot 3 \\ (4x + 3y) \cdot 5 = 30 \cdot 5 \end{cases} \]
  • \[ \begin{cases} 18x - 15y = -36 \\ 20x + 15y = 150 \end{cases} \]
• Сложим полученные уравнения:
  • \[ (18x - 15y) + (20x + 15y) = -36 + 150 \]
  • \[ 38x = 114 \]
  • \[ x = \frac{114}{38} \]
  • \[ x = 3 \]
• Подставим значение x = 3 в любое из исходных уравнений, например, во второе:
  • \[ 4(3) + 3y = 30 \]
  • \[ 12 + 3y = 30 \]
  • \[ 3y = 30 - 12 \]
  • \[ 3y = 18 \]
  • \[ y = \frac{18}{3} \]
  • \[ y = 6 \]

Проверка:

• Подставим x=3, y=6 в первое уравнение: 6(3) - 5(6) = 18 - 30 = -12 (Верно).
• Подставим x=3, y=6 во второе уравнение: 4(3) + 3(6) = 12 + 18 = 30 (Верно).

Задание б)

• Данная система уравнений:
  • \[ \begin{cases} 3x + 5y = 7 \\ 2x - 7y = 15 \end{cases} \]
• Для решения методом сложения, умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы коэффициенты при x стали одинаковыми:
  • \[ \begin{cases} (3x + 5y) \cdot 2 = 7 \cdot 2 \\ (2x - 7y) \cdot 3 = 15 \cdot 3 \end{cases} \]
  • \[ \begin{cases} 6x + 10y = 14 \\ 6x - 21y = 45 \end{cases} \]
• Вычтем второе уравнение из первого:
  • \[ (6x + 10y) - (6x - 21y) = 14 - 45 \]
  • \[ 6x + 10y - 6x + 21y = -31 \]
  • \[ 31y = -31 \]
  • \[ y = \frac{-31}{31} \]
  • \[ y = -1 \]
• Подставим значение y = -1 в любое из исходных уравнений, например, в первое:
  • \[ 3x + 5(-1) = 7 \]
  • \[ 3x - 5 = 7 \]
  • \[ 3x = 7 + 5 \]
  • \[ 3x = 12 \]
  • \[ x = \frac{12}{3} \]
  • \[ x = 4 \]

Проверка:

• Подставим x=4, y=-1 в первое уравнение: 3(4) + 5(-1) = 12 - 5 = 7 (Верно).
• Подставим x=4, y=-1 во второе уравнение: 2(4) - 7(-1) = 8 + 7 = 15 (Верно).

Ответ: а) x = 3, y = 6; б) x = 4, y = -1