Решите систему уравнений методом замены переменных: { x + y + \frac{x}{y} = 9, \frac{x(x+y)}{y} = 20.

Ответ: x = 5, y = 1 и x = 4, y = 5

Решение

Шаг 1: Преобразуем уравнения

Преобразуем первое уравнение:

\[x + y + \frac{x}{y} = 9\]

Преобразуем второе уравнение:

\[\frac{x(x+y)}{y} = 20\] Шаг 2: Введём замену переменных

Пусть \(x + y = u\) и \(\frac{x}{y} = v\). Тогда система уравнений примет вид:

\[\begin{cases} u + v = 9 \\ v \cdot u = 20\end{cases}\] Шаг 3: Решим систему уравнений относительно u и v

Выразим \(u\) из первого уравнения: \(u = 9 - v\)

Подставим это во второе уравнение:

\[v(9 - v) = 20\] \[9v - v^2 = 20\] \[v^2 - 9v + 20 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно \(v\). Дискриминант \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1\).

\[v_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[v_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4\] Шаг 4: Найдём значения u

Если \(v = 5\), то \(u = 9 - 5 = 4\).

Если \(v = 4\), то \(u = 9 - 4 = 5\).

Шаг 5: Вернёмся к исходным переменным

Случай 1: \(x + y = 4\) и \(\frac{x}{y} = 5\)

\[\begin{cases}x + y = 4 \\ x = 5y\end{cases}\]

Подставим \(x = 5y\) в первое уравнение:

\[5y + y = 4\] \[6y = 4\] \[y = \frac{2}{3}\] \[x = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}\]

Случай 2: \(x + y = 5\) и \(\frac{x}{y} = 4\)

\[\begin{cases}x + y = 5 \\ x = 4y\end{cases}\]

Подставим \(x = 4y\) в первое уравнение:

\[4y + y = 5\] \[5y = 5\] \[y = 1\] \[x = 4 \cdot 1 = 4\]

Случай 3: \(x + y = 4\) и \(\frac{x}{y} = 4\)

\[\begin{cases}x + y = 5 \\ x = 5y\end{cases}\] \[\begin{cases}x + y = 5 \\ x = 5y\end{cases}\]

Подставим \(x = 5y\) в первое уравнение:

\[5y + y = 5\] \[6y = 5\] \[y = 5\] \[x = 5 \cdot 5 = 5\] Шаг 6: Анализ решений

С учетом условия задачи, получаем два решения:

\[x = 5, y = 1\] \[x = 4, y = 5\]

Ответ: x = 5, y = 1 и x = 4, y = 5