Решите систему уравнений методом замены переменных: { (x+2y)2 + (y -2x)² = 90, (x+2y) + (y - 2x) = 12.

Шаг 1: Введем замену переменных

Пусть \[a = x + 2y\] и \[b = y - 2x\].

Шаг 2: Перепишем систему уравнений с новыми переменными

Система принимает вид: \[\begin{cases} a^2 + b^2 = 90, \\ a + b = 12. \end{cases}\]

Шаг 3: Выразим одну переменную через другую из второго уравнения

Выразим \[b\] через \[a\]: \[b = 12 - a\].

Шаг 4: Подставим выражение для b в первое уравнение

\[a^2 + (12 - a)^2 = 90\] \[a^2 + 144 - 24a + a^2 = 90\] \[2a^2 - 24a + 54 = 0\] \[a^2 - 12a + 27 = 0\]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение относительно a

Найдем дискриминант: \[D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36\].

Корни уравнения: \[a_1 = \frac{12 + \sqrt{36}}{2} = \frac{12 + 6}{2} = 9\] \[a_2 = \frac{12 - \sqrt{36}}{2} = \frac{12 - 6}{2} = 3\]

Шаг 6: Найдем соответствующие значения b

Для \[a_1 = 9\]: \[b_1 = 12 - 9 = 3\]. Для \[a_2 = 3\]: \[b_2 = 12 - 3 = 9\].

Шаг 7: Решим системы уравнений относительно x и y

Случай 1: \[a = 9, b = 3\] \[\begin{cases} x + 2y = 9, \\ y - 2x = 3. \end{cases}\]

Умножим второе уравнение на -2 и сложим с первым: \[x + 2y - 2(y - 2x) = 9 - 2(3)\] \[x + 2y - 2y + 4x = 9 - 6\] \[5x = 3\] \[x = \frac{3}{5}\]

Подставим значение x в первое уравнение: \[\frac{3}{5} + 2y = 9\] \[2y = 9 - \frac{3}{5} = \frac{45 - 3}{5} = \frac{42}{5}\] \[y = \frac{21}{5}\]

Случай 2: \[a = 3, b = 9\] \[\begin{cases} x + 2y = 3, \\ y - 2x = 9. \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из второго: \[y - 2x - 2(x + 2y) = 9 - 2(3)\] \[y - 2x - 2x - 4y = 9 - 6\] \[-3y - 4x = 3\] \[y - 2x = 9\]

Решим систему: \[\begin{cases} x + 2y = 3 \\ y - 2x = 9 \end{cases}\] Умножим первое уравнение на 2: \[\begin{cases} 2x + 4y = 6 \\ y - 2x = 9 \end{cases}\] Сложим уравнения: \[5y = 15 \implies y = 3\]

Подставим y в первое уравнение: \[x + 2(3) = 3 \implies x = -3\]

Проверим решение: x + 2y = -3 + 6 = 3 (верно), y - 2x = 3 - (-6) = 9 (верно)

Случай 3: \[a = 1, b = 5\] \[\begin{cases} x + 2y = 1, \\ y - 2x = 5. \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 2: \[\begin{cases} 2x + 4y = 2, \\ y - 2x = 5. \end{cases}\] Сложим уравнения: \[5y = 7, \ implies y = \frac{7}{5}\] Подставим y в первое уравнение: \[x + 2(\frac{7}{5}) = 1, \ x = 1 - \frac{14}{5} = -\frac{9}{5}\]

Случай 4: \[a = 5, b = 1\] \[\begin{cases} x + 2y = 5, \\ y - 2x = 1. \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 2: \[\begin{cases} 2x + 4y = 10, \\ y - 2x = 1. \end{cases}\] Сложим уравнения: \[5y = 11, \ implies y = \frac{11}{5}\] Подставим y в первое уравнение: \[x + 2(\frac{11}{5}) = 5, \ x = 5 - \frac{22}{5} = \frac{3}{5}\]

Другое решение: \[x = 1, y = 5\] и \[x = 5, y = 1\]