Решите систему уравнений { tf1\(\ansi\)\(\deff\)0 {\(\fonttbl{\f0 Arial;} {\f1 Calibri;}\) } {\(\colortbl\) ; ed0\(\green\)0\(\blue\)0; } \(\viewkind\)4\(\uc\)1 \(\pard\)\(\cf\)1\(\lang\)1033\(\fs\)24 \(\f\)0\(\fs\)24 \(\f\)1\(\fs\)24 \(\pard\)\(\sa\)200\(\sl\)276\(\slmult\)1\(\cf\)1\(\lang\)2057\(\f\)1\(\fs\)24 [x^2+y^2 = 65,\\(\xy\)=8. }

Решение системы уравнений:

У нас есть система:

• \[ \begin{cases} x^2+y^2 = 65 \\ xy = 8 \end{cases} \]

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую из второго уравнения.

Из уравнения xy = 8, мы можем выразить y:

\[ y = \frac{8}{x} \]

Шаг 2: Подставим выражение для y в первое уравнение.

Теперь подставим y = 8/x в уравнение x^2 + y^2 = 65:

\[ x^2 + \left(\frac{8}{x}\right)^2 = 65 \]

\[ x^2 + \frac{64}{x^2} = 65 \]

Шаг 3: Приведем к общему знаменателю и решим полученное уравнение.

Умножим всё уравнение на x^2 \(при условии, что x \neq 0\):

\[ x^4 + 64 = 65x^2 \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение:

\[ x^4 - 65x^2 + 64 = 0 \]

Шаг 4: Сделаем замену переменной.

Пусть t = x^2. Тогда уравнение примет вид:

\[ t^2 - 65t + 64 = 0 \]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение относительно t.

Используем дискриминант: D = b^2 - 4ac

\[ D = (-65)^2 - 4 \times 1 \times 64 = 4225 - 256 = 3969 \]

Найдем квадратный корень из дискриминанта: \(\sqrt{3969}\) = 63.

Найдем корни t:

\[ t_1 = \frac{65 - 63}{2 \times 1} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ t_2 = \frac{65 + 63}{2 \times 1} = \frac{128}{2} = 64 \]

Шаг 6: Найдем значения x.

Так как t = x^2, то:

Для t_1 = 1:

\[ x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \]

Для t_2 = 64:

\[ x^2 = 64 \Rightarrow x = \pm 8 \]

Шаг 7: Найдем соответствующие значения y.

Подставим найденные значения x в уравнение y = 8/x:

Если x = 1, то y = 8/1 = 8.

Если x = -1, то y = 8/(-1) = -8.

Если x = 8, то y = 8/8 = 1.

Если x = -8, то y = 8/(-8) = -1.

Шаг 8: Проверим полученные решения.

Для пары (1; 8): 1^2 + 8^2 = 1 + 64 = 65 (верно), 1 * 8 = 8 (верно).

Для пары (-1; -8): (-1)^2 + (-8)^2 = 1 + 64 = 65 (верно), (-1) * (-8) = 8 (верно).

Для пары (8; 1): 8^2 + 1^2 = 64 + 1 = 65 (верно), 8 * 1 = 8 (верно).

Для пары (-8; -1): (-8)^2 + (-1)^2 = 64 + 1 = 65 (верно), (-8) * (-1) = 8 (верно).

Ответ: (1; 8), (-1; -8), (8; 1), (-8; -1).