Решите систему уравнений с использованием формул сокращённого умножения: (3 + x)² - (x + 2)² = 4y, (2 - y)² - (1 + y)² = -12x. x= ; y=

Решение:

Раскроем скобки в первом уравнении, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).

Первое уравнение:

\[ (3 + x)^2 - (x + 2)^2 = 4y \]

\[ ((3+x) - (x+2))((3+x) + (x+2)) = 4y \]

\[ (3 + x - x - 2)(3 + x + x + 2) = 4y \]

\[ (1)(5 + 2x) = 4y \]

\[ 5 + 2x = 4y \]

Второе уравнение:

\[ (2 - y)^2 - (1 + y)^2 = -12x \]

\[ ((2-y) - (1+y))((2-y) + (1+y)) = -12x \]

\[ (2 - y - 1 - y)(2 - y + 1 + y) = -12x \]

\[ (1 - 2y)(3) = -12x \]

\[ 3 - 6y = -12x \]

Разделим обе части на 3:

\[ 1 - 2y = -4x \]

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

1) \( 5 + 2x = 4y \)

2) \( 1 - 2y = -4x \)

Из второго уравнения выразим \( 2y \):

\[ 2y = 1 + 4x \]

Тогда \( 4y = 2(1 + 4x) = 2 + 8x \).

Подставим \( 4y \) в первое уравнение:

\[ 5 + 2x = 2 + 8x \]

Решим относительно \( x \):

\[ 5 - 2 = 8x - 2x \]

\[ 3 = 6x \]

\[ x = \frac{3}{6} = 0.5 \]

Теперь найдем \( y \), используя \( 2y = 1 + 4x \):

\[ 2y = 1 + 4(0.5) \]

\[ 2y = 1 + 2 \]

\[ 2y = 3 \]

\[ y = \frac{3}{2} = 1.5 \]

Ответ: x = 0.5, y = 1.5.