Решите систему уравнений способом подстановки или способом сложения:

Решение:

а) Система уравнений:

$$\begin{cases} x + 2y = 45 \\ x - 3y = 12 \end{cases}$$

Способ вычитания:

1. Вычтем второе уравнение из первого:

$$(x + 2y) - (x - 3y) = 45 - 12$$

$$x + 2y - x + 3y = 33$$

$$5y = 33$$

$$y = \frac{33}{5} = 6.6$$

2. Подставим значение y в первое уравнение:

$$x + 2 \cdot \frac{33}{5} = 45$$

$$x + \frac{66}{5} = 45$$

$$x = 45 - \frac{66}{5}$$

$$x = \frac{225 - 66}{5}$$

$$x = \frac{159}{5} = 31.8$$

Проверка:

$$31.8 - 3 \cdot 6.6 = 31.8 - 19.8 = 12$$

Ответ: \( x = 31.8, y = 6.6 \)

б) Система уравнений:

$$\begin{cases} 4x + y = 2 \\ 8x + 3y = 5 \end{cases}$$

Способ подстановки:

1. Выразим y из первого уравнения:

$$y = 2 - 4x$$

2. Подставим выражение для y во второе уравнение:

$$8x + 3(2 - 4x) = 5$$

$$8x + 6 - 12x = 5$$

$$-4x = 5 - 6$$

$$-4x = -1$$

$$x = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} = 0.25$$

3. Подставим значение x в выражение для y:

$$y = 2 - 4 \cdot \frac{1}{4}$$

$$y = 2 - 1$$

$$y = 1$$

Проверка:

$$4 \cdot 0.25 + 1 = 1 + 1 = 2$$

$$8 \cdot 0.25 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5$$

Ответ: \( x = 0.25, y = 1 \)

в) Система уравнений:

$$\begin{cases} 2x + y = 11 \\ 3x - 5y = -3 \end{cases}$$

Способ подстановки:

1. Выразим y из первого уравнения:

$$y = 11 - 2x$$

2. Подставим выражение для y во второе уравнение:

$$3x - 5(11 - 2x) = -3$$

$$3x - 55 + 10x = -3$$

$$13x = -3 + 55$$

$$13x = 52$$

$$x = \frac{52}{13} = 4$$

3. Подставим значение x в выражение для y:

$$y = 11 - 2 \cdot 4$$

$$y = 11 - 8$$

$$y = 3$$

Проверка:

$$2 \cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11$$

$$3 \cdot 4 - 5 \cdot 3 = 12 - 15 = -3$$

Ответ: \( x = 4, y = 3 \)

г) Система уравнений:

$$\begin{cases} 6x - 7y = 40 \\ 2x - 5y = 8 \end{cases}$$

Способ сложения:

1. Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при x стали одинаковыми:

$$3(2x - 5y) = 3 \cdot 8$$

$$6x - 15y = 24$$

2. Вычтем полученное уравнение из первого уравнения системы:

$$(6x - 7y) - (6x - 15y) = 40 - 24$$

$$6x - 7y - 6x + 15y = 16$$

$$8y = 16$$

$$y = \frac{16}{8} = 2$$

3. Подставим значение y во второе уравнение системы:

$$2x - 5 \cdot 2 = 8$$

$$2x - 10 = 8$$

$$2x = 8 + 10$$

$$2x = 18$$

$$x = \frac{18}{2} = 9$$

Проверка:

$$6 \cdot 9 - 7 \cdot 2 = 54 - 14 = 40$$

$$2 \cdot 9 - 5 \cdot 2 = 18 - 10 = 8$$

Ответ: \( x = 9, y = 2 \)