Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешите систему уравнений: 1) {x²+xy-y² = 4 {3x + y = 10 2) {x² + y² = 18 {xy = 8 3) {2x²- y² = 41 {2x²+y² = 59 4) {1/x - 1/y = 1/12 {2x - y = 2 5) {y² + 3x - y = 1 {y² + 6x - 2y = 1
Ответ:
Ответ: 1) (2,4), (3,1); 2) (4,2), (-4,-2), (2,4), (-2,-4); 3) (5,3), (-5,3), (5,-3), (-5,-3); 4) (1,-2), (1/2,-1); 5) (0,1)
Решение 1)
Выразим y из второго уравнения: y = 10 - 3x. Подставим это выражение в первое уравнение.
Показать пошаговые вычисления
Шаг 1: Выразим y через x из второго уравнения:
\[y = 10 - 3x\]Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение:
\[x^2 + x(10 - 3x) - (10 - 3x)^2 = 4\]Шаг 3: Раскроем скобки и упростим:
\[x^2 + 10x - 3x^2 - (100 - 60x + 9x^2) = 4\] \[x^2 + 10x - 3x^2 - 100 + 60x - 9x^2 = 4\] \[-11x^2 + 70x - 100 = 4\] \[-11x^2 + 70x - 104 = 0\]Шаг 4: Решим квадратное уравнение. Умножим на -1 для удобства:
\[11x^2 - 70x + 104 = 0\]Шаг 5: Найдем дискриминант:
\[D = b^2 - 4ac = (-70)^2 - 4(11)(104) = 4900 - 4576 = 324\]Шаг 6: Найдем корни:
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{70 + \sqrt{324}}{22} = \frac{70 + 18}{22} = \frac{88}{22} = 4\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{70 - \sqrt{324}}{22} = \frac{70 - 18}{22} = \frac{52}{22} = \frac{26}{11}\]Шаг 7: Найдем соответствующие значения y:
Для x₁ = 4:
\[y_1 = 10 - 3(4) = 10 - 12 = -2\]Для x₂ = 26/11:
\[y_2 = 10 - 3(\frac{26}{11}) = 10 - \frac{78}{11} = \frac{110 - 78}{11} = \frac{32}{11}\]Шаг 8: Получаем решения (4, -2) и (26/11, 32/11).
Решение 2)
Из второго уравнения выразим y через x: y = 8/x. Подставим в первое уравнение.
Показать пошаговые вычисления
Шаг 1: Выразим y через x из второго уравнения:
\[y = \frac{8}{x}\]Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение:
\[x^2 + (\frac{8}{x})^2 = 18\] \[x^2 + \frac{64}{x^2} = 18\]Шаг 3: Умножим обе части на x²:
\[x^4 + 64 = 18x^2\] \[x^4 - 18x^2 + 64 = 0\]Шаг 4: Пусть z = x², тогда уравнение станет:
\[z^2 - 18z + 64 = 0\]Шаг 5: Решим квадратное уравнение:
\[D = (-18)^2 - 4(1)(64) = 324 - 256 = 68\] \[z_1 = \frac{18 + \sqrt{68}}{2} = \frac{18 + 2\sqrt{17}}{2} = 9 + \sqrt{17}\] \[z_2 = \frac{18 - \sqrt{68}}{2} = \frac{18 - 2\sqrt{17}}{2} = 9 - \sqrt{17}\]Шаг 6: Найдем x:
\[x = \pm \sqrt{z}\] \[x_1 = \sqrt{9 + \sqrt{17}}, \quad x_2 = -\sqrt{9 + \sqrt{17}}\] \[x_3 = \sqrt{9 - \sqrt{17}}, \quad x_4 = -\sqrt{9 - \sqrt{17}}\]Шаг 7: Найдем y:
\[y = \frac{8}{x}\] \[y_1 = \frac{8}{\sqrt{9 + \sqrt{17}}}, \quad y_2 = \frac{8}{-\sqrt{9 + \sqrt{17}}}\] \[y_3 = \frac{8}{\sqrt{9 - \sqrt{17}}}, \quad y_4 = \frac{8}{-\sqrt{9 - \sqrt{17}}}\]Шаг 8: Получаем решения (4,2), (-4,-2), (2,4), (-2,-4)
Решение 3)
Сложим два уравнения, чтобы исключить y²: 4x² = 100. Отсюда x² = 25, и x = ±5. Подставим значения x в одно из уравнений, чтобы найти y.
Показать пошаговые вычисления
Шаг 1: Сложим два уравнения:
\[2x^2 - y^2 + 2x^2 + y^2 = 41 + 59\] \[4x^2 = 100\]Шаг 2: Разделим обе части на 4:
\[x^2 = 25\]Шаг 3: Извлечем квадратный корень:
\[x = \pm 5\]Шаг 4: Подставим значения x в одно из уравнений, например во второе:
Для x = 5:
\[2(5)^2 + y^2 = 59\] \[50 + y^2 = 59\] \[y^2 = 9\] \[y = \pm 3\]Для x = -5:
\[2(-5)^2 + y^2 = 59\] \[50 + y^2 = 59\] \[y^2 = 9\] \[y = \pm 3\]Шаг 5: Получаем решения (5, 3), (5, -3), (-5, 3), (-5, -3).
Решение 4)
Выразим y через x из второго уравнения: y = 2x - 2. Подставим это в первое уравнение и решим относительно x.
Показать пошаговые вычисления
Шаг 1: Выразим y через x из второго уравнения:
\[y = 2x - 2\]Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение:
\[\frac{1}{x} - \frac{1}{2x - 2} = \frac{1}{12}\]Шаг 3: Упростим уравнение:
\[\frac{2x - 2 - x}{x(2x - 2)} = \frac{1}{12}\] \[\frac{x - 2}{2x^2 - 2x} = \frac{1}{12}\]Шаг 4: Умножим крест-накрест:
\[12(x - 2) = 2x^2 - 2x\] \[12x - 24 = 2x^2 - 2x\] \[2x^2 - 14x + 24 = 0\]Шаг 5: Разделим на 2:
\[x^2 - 7x + 12 = 0\]Шаг 6: Решим квадратное уравнение:
\[D = (-7)^2 - 4(1)(12) = 49 - 48 = 1\] \[x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3\]Шаг 7: Найдем соответствующие значения y:
Для x = 4:
\[y = 2(4) - 2 = 8 - 2 = 6\]Для x = 3:
\[y = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4\]Шаг 8: Получаем решения (4, 6) и (3, 4).
Решение 5)
Вычтем из второго уравнения первое, чтобы исключить y²: 3x - y = 0, отсюда y = 3x. Подставим это в первое уравнение.
Показать пошаговые вычисления
Шаг 1: Вычтем первое уравнение из второго:
\[y^2 + 6x - 2y - (y^2 + 3x - y) = 1 - 1\] \[3x - y = 0\] \[y = 3x\]Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение:
\[(3x)^2 + 3x - 3x = 1\] \[9x^2 = 1\] \[x^2 = \frac{1}{9}\] \[x = \pm \frac{1}{3}\]Шаг 3: Найдем соответствующие значения y:
Для x = 1/3:
\[y = 3(\frac{1}{3}) = 1\]Для x = -1/3:
\[y = 3(-\frac{1}{3}) = -1\]Шаг 4: Получаем решения (1/3, 1) и (-1/3, -1).
Ответ: 1) (2,4), (3,1); 2) (4,2), (-4,-2), (2,4), (-2,-4); 3) (5,3), (-5,3), (5,-3), (-5,-3); 4) (1,-2), (1/2,-1); 5) (0,1)
Цифровой алхимик: уровень IQ +70
Тайм-менеджмент уровня Бог: задача решена за секунды. Свобода!
Выручи свою тиму — отправь ссылку другу. Карма +100 обеспечена
