Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика1 Решите систему уравнений: 1), (x2 + xy-3y = -1, 4x - y = 3; 3x-2y = 9, 2) 4x² + 6y = 7; 3) 6x + y = 5, (x- -3)(y + 5) = 2.
Ответ:
1)
Давай решим первую систему уравнений:
\[\begin{cases} x^2 + xy - 3y = -1, \\ 4x - y = 3. \end{cases}\]Выразим y из второго уравнения:
\[y = 4x - 3.\]Подставим это выражение в первое уравнение:
\[x^2 + x(4x - 3) - 3(4x - 3) = -1.\]Раскроем скобки и упростим:
\[x^2 + 4x^2 - 3x - 12x + 9 = -1,\\ 5x^2 - 15x + 10 = 0,\\ x^2 - 3x + 2 = 0.\]Решим квадратное уравнение:
\[(x - 1)(x - 2) = 0.\]Получаем два значения для x:
\[x_1 = 1, \quad x_2 = 2.\]Найдем соответствующие значения для y:
\[y_1 = 4(1) - 3 = 1,\\ y_2 = 4(2) - 3 = 5.\]Таким образом, решения системы:
\[(1, 1), (2, 5).\]2)
Теперь решим вторую систему уравнений:
\[\begin{cases} 3x - 2y = 9, \\ 4x^2 + 6y = 7. \end{cases}\]Выразим x из первого уравнения:
\[3x = 2y + 9,\\ x = \frac{2}{3}y + 3.\]Подставим это выражение во второе уравнение:
\[4\left(\frac{2}{3}y + 3\right)^2 + 6y = 7.\]Раскроем скобки и упростим:
\[4\left(\frac{4}{9}y^2 + 4y + 9\right) + 6y = 7,\\ \frac{16}{9}y^2 + 16y + 36 + 6y = 7,\\ \frac{16}{9}y^2 + 22y + 29 = 0.\]Умножим на 9, чтобы избавиться от дроби:
\[16y^2 + 198y + 261 = 0.\]Решим квадратное уравнение:
\[D = 198^2 - 4 \cdot 16 \cdot 261 = 39204 - 16600 = 22604 \\ y_{1,2} = \frac{-198 \pm \sqrt{22604}}{32} \\ y_{1,2} = \frac{-198 \pm 2\sqrt{5651}}{32} \\ y_{1,2} = \frac{-99 \pm \sqrt{5651}}{16}\]Тогда значения x будут:
\[x_{1,2} = \frac{2}{3}\left(\frac{-99 \pm \sqrt{5651}}{16}\right) + 3 = \frac{-99 \pm \sqrt{5651}}{24} + 3 = \frac{-99 \pm \sqrt{5651} + 72}{24} = \frac{-27 \pm \sqrt{5651}}{24}\]Таким образом, решения системы:
\[\left(\frac{-27 + \sqrt{5651}}{24}, \frac{-99 + \sqrt{5651}}{16}\right), \left(\frac{-27 - \sqrt{5651}}{24}, \frac{-99 - \sqrt{5651}}{16}\right).\]3)
Решим третью систему уравнений:
\[\begin{cases} 6x + y = 5, \\ (x - 3)(y + 5) = 2. \end{cases}\]Выразим y из первого уравнения:
\[y = 5 - 6x.\]Подставим это выражение во второе уравнение:
\[(x - 3)(5 - 6x + 5) = 2,\\ (x - 3)(10 - 6x) = 2,\\ 10x - 6x^2 - 30 + 18x = 2,\\ -6x^2 + 28x - 32 = 0,\\ 3x^2 - 14x + 16 = 0.\]Решим квадратное уравнение:
\[D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4,\\ x_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{14 \pm 2}{6}.\]Получаем два значения для x:
\[x_1 = \frac{14 + 2}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}, \quad x_2 = \frac{14 - 2}{6} = \frac{12}{6} = 2.\]Найдем соответствующие значения для y:
\[y_1 = 5 - 6\left(\frac{8}{3}\right) = 5 - 16 = -11,\\ y_2 = 5 - 6(2) = 5 - 12 = -7.\]Таким образом, решения системы:
\[\left(\frac{8}{3}, -11\right), (2, -7).\]Ответ: (1, 1), (2, 5); ((-27 + √5651)/24, (-99 + √5651)/16), ((-27 - √5651)/24, (-99 - √5651)/16); (8/3, -11), (2, -7)
