467. Решите систему уравнений: 1) {x + y - xy = 1, x + y + xy = 9; 2) {3xy + 2x = -4, 3xy + y = -8; 3) {xy - x = 24, xy - y = 25; 4) {2x² + y² = 66, 2x² - y² = 34.

Решение системы уравнений:

1) \(\begin{cases} x + y - xy = 1 \\ x + y + xy = 9 \end{cases}\)

Сложим уравнения системы: \[2(x+y) = 10 \Rightarrow x+y = 5\] Выразим \(y\) через \(x\): \[y = 5 - x\] Подставим в первое уравнение системы: \[x + (5 - x) - x(5 - x) = 1 \Rightarrow 5 - 5x + x^2 = 1 \Rightarrow x^2 - 5x + 4 = 0\] Решим квадратное уравнение: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\] \[x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1\] Найдем соответствующие значения \(y\): \[y_1 = 5 - x_1 = 5 - 4 = 1\] \[y_2 = 5 - x_2 = 5 - 1 = 4\]

Ответ: (4; 1), (1; 4)

2) \(\begin{cases} 3xy + 2x = -4 \\ 3xy + y = -8 \end{cases}\)

Вычтем из первого уравнения второе: \[2x - y = -4 - (-8) \Rightarrow 2x - y = 4 \Rightarrow y = 2x - 4\] Подставим в первое уравнение системы: \[3x(2x - 4) + 2x = -4 \Rightarrow 6x^2 - 12x + 2x = -4 \Rightarrow 6x^2 - 10x + 4 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 5x + 2 = 0\] Решим квадратное уравнение: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1\] \[x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{6} = \frac{5 + 1}{6} = 1\] \[x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{6} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3}\] Найдем соответствующие значения \(y\): \[y_1 = 2x_1 - 4 = 2 \cdot 1 - 4 = -2\] \[y_2 = 2x_2 - 4 = 2 \cdot \frac{2}{3} - 4 = \frac{4}{3} - \frac{12}{3} = -\frac{8}{3}\]

Ответ: (1; -2), (2/3; -8/3)

3) \(\begin{cases} xy - x = 24 \\ xy - y = 25 \end{cases}\)

Вычтем из второго уравнения первое: \[-y - (-x) = 25 - 24 \Rightarrow x - y = 1 \Rightarrow x = y + 1\] Подставим в первое уравнение системы: \[(y + 1)y - (y + 1) = 24 \Rightarrow y^2 + y - y - 1 = 24 \Rightarrow y^2 = 25 \Rightarrow y = \pm 5\] Найдем соответствующие значения \(x\): \[x_1 = y_1 + 1 = 5 + 1 = 6\] \[x_2 = y_2 + 1 = -5 + 1 = -4\]

Ответ: (6; 5), (-4; -5)

4) \(\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 66 \\ 2x^2 - y^2 = 34 \end{cases}\)

Сложим уравнения системы: \[4x^2 = 100 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5\] Найдем \(y^2\) из первого уравнения: \[y^2 = 66 - 2x^2 = 66 - 2 \cdot 25 = 66 - 50 = 16 \Rightarrow y = \pm 4\]

Ответ: (5; 4), (5; -4), (-5; 4), (-5; -4)

Молодец! Ты отлично справился с решением системы уравнений. Продолжай в том же духе, и все получится!