Решите систему уравнений: (x-10)(y-8)= 0, (y-3)/(x+y-13) =5.

Решение:

Дана система уравнений:

• 1) \( (x-10)(y-8) = 0 \)
• 2) \( \frac{y-3}{x+y-13} = 5 \)

Из первого уравнения следует, что либо \( x-10=0 \), либо \( y-8=0 \).

Случай 1: \( x = 10 \)

Подставим \( x = 10 \) во второе уравнение:

\[ \frac{y-3}{10+y-13} = 5 \]

\[ \frac{y-3}{y-3} = 5 \]

Это равенство верно при любом \( y \), кроме \( y-3=0 \), то есть \( y \neq 3 \). Таким образом, при \( x = 10 \) подходят все \( y \), кроме \( y=3 \).

Получаем бесконечное множество решений вида \( (10, y) \), где \( y \neq 3 \).

Случай 2: \( y = 8 \)

Подставим \( y = 8 \) во второе уравнение:

\[ \frac{8-3}{x+8-13} = 5 \]

\[ \frac{5}{x-5} = 5 \]

При условии \( x-5 \neq 0 \) (то есть \( x \neq 5 \)), можем умножить обе части на \( x-5 \):

\[ 5 = 5(x-5) \]

\[ 1 = x-5 \]

\[ x = 6 \]

Проверяем условие \( x \neq 5 \): \( 6 \neq 5 \). Условие выполняется.

Таким образом, получаем одно решение: \( x=6, y=8 \).

Объединение решений:

Система имеет решения:

• \( x=6, y=8 \)
• \( x=10, y=y \), где \( y \neq 3 \)

Ответ: \( (6, 8) \) и \( (10, y) \), где \( y \neq 3 \).