Решите систему уравнений: { x^2 + y = 14, y - x = 2.

Решение:

1. Выразим y из второго уравнения: \( y = x + 2 \).
2. Подставим это выражение в первое уравнение: \( x^2 + (x + 2) = 14 \).
3. Приведём уравнение к стандартному виду: \( x^2 + x + 2 - 14 = 0 \) → \( x^2 + x - 12 = 0 \).
4. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]
5. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
6. Найдем соответствующие значения y, подставив найденные x во второе уравнение \( y = x + 2 \):
• При \( x_1 = 3 \): \( y_1 = 3 + 2 = 5 \).
• При \( x_2 = -4 \): \( y_2 = -4 + 2 = -2 \).

Ответ: \( (3; 5) \), \( (-4; -2) \).