Решите систему уравнений: {x^2 + y^2 = 5, xy = 2.

Решение:

1. Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = \frac{2}{x} \).
2. Подставим это выражение в первое уравнение: \( x^2 + (\frac{2}{x})^2 = 5 \).
3. Упростим: \( x^2 + \frac{4}{x^2} = 5 \).
4. Умножим обе части на \( x^2 \) (при \( x \neq 0 \)): \( x^4 + 4 = 5x^2 \).
5. Перенесём все члены в одну сторону: \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \).
6. Сделаем замену переменной: пусть \( t = x^2 \). Тогда уравнение примет вид: \( t^2 - 5t + 4 = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение относительно \( t \) (по теореме Виета): \( t_1 = 1 \), \( t_2 = 4 \).
8. Вернёмся к замене \( x^2 = t \):
   • \( x^2 = 1 \) ⇒ \( x = \pm 1 \).
   • \( x^2 = 4 \) ⇒ \( x = \pm 2 \).
9. Найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \) из \( y = \frac{2}{x} \):
   • При \( x = 1 \) ⇒ \( y = \frac{2}{1} = 2 \).
   • При \( x = -1 \) ⇒ \( y = \frac{2}{-1} = -2 \).
   • При \( x = 2 \) ⇒ \( y = \frac{2}{2} = 1 \).
   • При \( x = -2 \) ⇒ \( y = \frac{2}{-2} = -1 \).

Ответ: (1; 2), (-1; -2), (2; 1), (-2; -1).