Решите систему уравнений (x-4)(y-7)=0, y-5/x+y-9 =2.

Решение:

Рассмотрим первое уравнение: \( (x-4)(y-7) = 0 \). Это уравнение верно, если \( x-4 = 0 \) или \( y-7 = 0 \). То есть, \( x = 4 \) или \( y = 7 \).

Теперь подставим эти значения во второе уравнение \( \frac{y-5}{x+y-9} = 2 \).

Случай 1: \( x = 4 \).

Подставляем \( x = 4 \) во второе уравнение:

\( \frac{y-5}{4+y-9} = 2 \)

\( \frac{y-5}{y-5} = 2 \)

Если \( y \neq 5 \), то \( 1 = 2 \), что неверно. Значит, \( y = 5 \) является решением этого уравнения (при условии, что знаменатель не равен нулю). Проверим знаменатель: \( 4+5-9 = 0 \). Поскольку знаменатель равен нулю, данное уравнение не имеет решений при \( x = 4 \).

Случай 2: \( y = 7 \).

Подставляем \( y = 7 \) во второе уравнение:

\( \frac{7-5}{x+7-9} = 2 \)

\( \frac{2}{x-2} = 2 \)

При условии, что \( x-2 \neq 0 \) (т.е. \( x \neq 2 \)), можем умножить обе части на \( x-2 \):

\( 2 = 2(x-2) \)

\( 2 = 2x - 4 \)

\( 6 = 2x \)

\( x = 3 \)

Проверим условие \( x \neq 2 \): \( 3 \neq 2 \). Проверим знаменатель: \( 3+7-9 = 1 \neq 0 \). Решение \( x = 3, y = 7 \) подходит.

Ответ: (3; 7).