Решите систему уравнений: x² + y² = 13 xy = 6

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Выразим y из второго уравнения:
   \( xy = 6 \)
   \( y = \frac{6}{x} \)
2. Шаг 2: Подставим полученное выражение для y в первое уравнение:
   \( x^{2} + \left(\frac{6}{x}\right)^{2} = 13 \)
3. Шаг 3: Упростим полученное уравнение:
   \( x^{2} + \frac{36}{x^{2}} = 13 \)
4. Шаг 4: Умножим обе части уравнения на \( x^{2} \) (при условии \( x
   eq 0 \)):
   \( x^{4} + 36 = 13x^{2} \)
5. Шаг 5: Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение:
   \( x^{4} - 13x^{2} + 36 = 0 \)
6. Шаг 6: Сделаем замену переменной. Пусть \( t = x^{2} \). Тогда уравнение примет вид:
   \( t^{2} - 13t + 36 = 0 \)
7. Шаг 7: Решим квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта:
   \( D = b^{2} - 4ac = (-13)^{2} - 4 · 1 · 36 = 169 - 144 = 25 \)
   \( \sqrt{D} = 5 \)
   \( t_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
   \( t_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
8. Шаг 8: Вернемся к замене \( t = x^{2} \) и найдем значения x:
   Если \( t_{1} = 9 \), то \( x^{2} = 9 \), откуда \( x = ±3 \).
   Если \( t_{2} = 4 \), то \( x^{2} = 4 \), откуда \( x = ±2 \).
9. Шаг 9: Найдем соответствующие значения y, используя уравнение \( y = \frac{6}{x} \):
   Если \( x = 3 \), то \( y = \frac{6}{3} = 2 \).
   Если \( x = -3 \), то \( y = \frac{6}{-3} = -2 \).
   Если \( x = 2 \), то \( y = \frac{6}{2} = 3 \).
   Если \( x = -2 \), то \( y = \frac{6}{-2} = -3 \).

Ответ: (3; 2), (-3; -2), (2; 3), (-2; -3)