Решите систему уравнений: {x + y = 6; x² - y² = 12}

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 6 \\ x^2 - y^2 = 12 \end{cases} \)

Разложим второе уравнение по формуле разности квадратов:

\( (x - y)(x + y) = 12 \)

Подставим значение \( x + y = 6 \) из первого уравнения во второе:

\( (x - y) \cdot 6 = 12 \)

Разделим обе части на 6:

\( x - y = 2 \)

Теперь у нас есть новая система из двух линейных уравнений:

\( \begin{cases} x + y = 6 \\ x - y = 2 \end{cases} \)

Сложим оба уравнения, чтобы найти \( x \):

\( (x + y) + (x - y) = 6 + 2 \)

\( 2x = 8 \)

\( x = \frac{8}{2} \)

\( x = 4 \)

Теперь подставим найденное значение \( x = 4 \) в первое уравнение, чтобы найти \( y \):

\( 4 + y = 6 \)

\( y = 6 - 4 \)

\( y = 2 \)

Проверим полученные значения во втором исходном уравнении:

\( x^2 - y^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12 \). Это верно.

Ответ: x = 4.