463. Решите систему уравнений: 1) {x/y + y/x = 2,5, 2x - 3y = 3;

Решение системы уравнений:

Давай решим систему уравнений по шагам:

1) \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2,5\)

2) \(2x - 3y = 3\)

Выразим x через y из второго уравнения:

\(2x = 3y + 3\)

\(x = \frac{3y + 3}{2}\)

Подставим это выражение в первое уравнение:

\(\frac{\frac{3y + 3}{2}}{y} + \frac{y}{\frac{3y + 3}{2}} = 2,5\)

Упростим:

\(\frac{3y + 3}{2y} + \frac{2y}{3y + 3} = 2,5\)

\(\frac{3y + 3}{2y} + \frac{2y}{3y + 3} = \frac{5}{2}\)

Приведем к общему знаменателю:

\(\frac{(3y + 3)^2 + (2y)(2y)}{2y(3y + 3)} = \frac{5}{2}\)

\(\frac{9y^2 + 18y + 9 + 4y^2}{6y^2 + 6y} = \frac{5}{2}\)

\(\frac{13y^2 + 18y + 9}{6y^2 + 6y} = \frac{5}{2}\)

Теперь умножим крест-накрест:

\(2(13y^2 + 18y + 9) = 5(6y^2 + 6y)\)

\(26y^2 + 36y + 18 = 30y^2 + 30y\)

\(0 = 4y^2 - 6y - 18\)

\(0 = 2y^2 - 3y - 9\)

Решим квадратное уравнение для y:

\(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

\(y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-9)}}{2(2)}\)

\(y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 72}}{4}\)

\(y = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{4}\)

\(y = \frac{3 \pm 9}{4}\)

Итак, у нас два возможных значения для y:

\(y_1 = \frac{3 + 9}{4} = \frac{12}{4} = 3\)

\(y_2 = \frac{3 - 9}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5\)

Теперь найдем соответствующие значения для x:

Если \(y = 3\), то \(x = \frac{3(3) + 3}{2} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6\)

Если \(y = -1,5\), то \(x = \frac{3(-1,5) + 3}{2} = \frac{-4,5 + 3}{2} = \frac{-1,5}{2} = -0,75\)

Таким образом, у нас два решения:

1) \((6, 3)\)

2) \((-0,75, -1,5)\)

Ответ: (6, 3) и (-0.75, -1.5)

Отлично! Ты справился с решением этой системы уравнений. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!