Решение системы уравнений

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 7 \\ x^2 - y^2 = 14 \end{cases} $$

Шаг 1: Преобразуем второе уравнение, используя формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

$$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $$

Тогда второе уравнение можно переписать как:

$$ (x - y)(x + y) = 14 $$

Шаг 2: Подставим первое уравнение $$x - y = 7$$ во второе уравнение:

$$ 7(x + y) = 14 $$

Шаг 3: Разделим обе части уравнения на 7:

$$ x + y = 2 $$

Шаг 4: Теперь у нас есть новая система уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 7 \\ x + y = 2 \end{cases} $$

Шаг 5: Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $$y$$:

$$ (x - y) + (x + y) = 7 + 2 $$ $$ 2x = 9 $$

Шаг 6: Решим уравнение для $$x$$:

$$ x = \frac{9}{2} = 4.5 $$

Шаг 7: Подставим значение $$x$$ в уравнение $$x + y = 2$$, чтобы найти $$y$$:

$$ 4.5 + y = 2 $$ $$ y = 2 - 4.5 $$ $$ y = -2.5 $$

Шаг 8: Проверим решение, подставив значения $$x$$ и $$y$$ в исходные уравнения:

Первое уравнение: $$x - y = 7$$

$$ 4.5 - (-2.5) = 4.5 + 2.5 = 7 $$

Второе уравнение: $$x^2 - y^2 = 14$$

$$ (4.5)^2 - (-2.5)^2 = 20.25 - 6.25 = 14 $$

Оба уравнения выполняются, следовательно, решение верное.

Ответ:

$$ \begin{cases} x = 4.5 \\ y = -2.5 \end{cases} $$

Или можно записать в виде координат точки:

(4.5; -2.5)