Решите систему уравнений: \( xy - y = 24, \) \( x - 3y = -5. \) В ответе укажите наибольшее из найденных значений x.

Решение:

Система уравнений:

• \( xy - y = 24 \)
• \( x - 3y = -5 \)

Выразим \( x \) из второго уравнения:

\( x = 3y - 5 \)

Подставим это выражение в первое уравнение:

\( (3y - 5)y - y = 24 \)

Раскроем скобки:

\( 3y^2 - 5y - y = 24 \)

\( 3y^2 - 6y = 24 \)

Разделим обе части на 3:

\( y^2 - 2y = 8 \)

Перенесём 8 в левую часть:

\( y^2 - 2y - 8 = 0 \)

Решим квадратное уравнение для \( y \). Дискриминант:

\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]

Найдем \( y \):

\[ y_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ y_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Теперь найдем соответствующие значения \( x \), используя \( x = 3y - 5 \).

При \( y_1 = 4 \):

\[ x_1 = 3 \cdot 4 - 5 = 12 - 5 = 7 \]

При \( y_2 = -2 \):

\[ x_2 = 3 \cdot (-2) - 5 = -6 - 5 = -11 \]

Найденные значения \( x \) равны 7 и -11. Наибольшее из них — 7.

Ответ: 7