Решите систему уравнений 2^x+3 = 0,5^2y+1 5^y-4 = √5^x+1

Решение:

Данная система уравнений:

\( \begin{cases} 2^{x+3} = 0.5^{2y+1} \\ 5^{y-4} = \sqrt{5}^{x+1} \end{cases} \)

Преобразуем первое уравнение:

\( 2^{x+3} = (2^{-1})^{2y+1} \)

\( 2^{x+3} = 2^{-(2y+1)} \)

Приравниваем показатели степеней:

\( x+3 = -(2y+1) \)

\( x+3 = -2y-1 \)

\( x + 2y = -4 \) (1)

Преобразуем второе уравнение:

\( 5^{y-4} = (5^{1/2})^{x+1} \)

\( 5^{y-4} = 5^{\frac{x+1}{2}} \)

Приравниваем показатели степеней:

\( y-4 = \frac{x+1}{2} \)

\( 2(y-4) = x+1 \)

\( 2y-8 = x+1 \)

\( -x + 2y = 9 \) (2)

Теперь решим систему из двух линейных уравнений:

\( \begin{cases} x + 2y = -4 \\ -x + 2y = 9 \end{cases} \)

Сложим уравнения (1) и (2):

\( (x+2y) + (-x+2y) = -4 + 9 \)

\( 4y = 5 \)

\( y = \frac{5}{4} \)

Подставим значение \( y \) в уравнение (1):

\( x + 2\left(\frac{5}{4}\right) = -4 \)

\( x + \frac{10}{4} = -4 \)

\( x + \frac{5}{2} = -4 \)

\( x = -4 - \frac{5}{2} \)

\( x = -\frac{8}{2} - \frac{5}{2} \)

\( x = -\frac{13}{2} \)

Проверим решение, подставив значения x и y во второе исходное уравнение:

\( 5^{\frac{5}{4}-4} = \sqrt{5}^{-\frac{13}{2}+1} \)

\( 5^{\frac{5-16}{4}} = 5^{\frac{1}{2} \cdot \frac{-13+2}{2}} \)

\( 5^{-\frac{11}{4}} = 5^{\frac{1}{2} \cdot \frac{-11}{2}} \)

\( 5^{-\frac{11}{4}} = 5^{-\frac{11}{4}} \)

Решение верно.

Ответ: \( x = -\frac{13}{2} \), \( y = \frac{5}{4} \).