1094. Решите систему уравнений: a) \(\begin{cases}\frac{y}{4} - \frac{x}{5} = 6, \\ \frac{x}{15} + \frac{y}{12} = 0;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}\frac{6x}{5} + \frac{y}{15} = 2,3, \\ \frac{x}{10} - \frac{2y}{3} = 1,2;\end{cases}\)

а) Решение системы уравнений

Дана система уравнений: \[\begin{cases}\frac{y}{4} - \frac{x}{5} = 6 \\ \frac{x}{15} + \frac{y}{12} = 0\end{cases}\]

Шаг 1: Умножим первое уравнение на 20 и второе уравнение на 60, чтобы избавиться от дробей:

\[\begin{cases}5y - 4x = 120 \\ 4x + 5y = 0\end{cases}\]

Шаг 2: Сложим уравнения, чтобы исключить x:

\[5y - 4x + 4x + 5y = 120 + 0\]

\[10y = 120\]

Шаг 3: Найдем y:

\[y = \frac{120}{10} = 12\]

Шаг 4: Подставим значение y во второе уравнение, чтобы найти x:

\[4x + 5(12) = 0\]

\[4x + 60 = 0\]

\[4x = -60\]

\[x = \frac{-60}{4} = -15\]

Шаг 5: Проверка решения. Подставим найденные значения x и y в исходные уравнения:

\[\frac{12}{4} - \frac{-15}{5} = 3 + 3 = 6\] \[\frac{-15}{15} + \frac{12}{12} = -1 + 1 = 0\]

Решение не сходится с исходной системой. Проверим еще раз наши действия.

Шаг 1: Выразим x из второго уравнения: \[\frac{x}{15} = - \frac{y}{12}\]

\[x = - \frac{15y}{12} = - \frac{5y}{4}\]

Шаг 2: Подставим это выражение в первое уравнение: \[\frac{y}{4} - \frac{-5y/4}{5} = 6\]

\[\frac{y}{4} + \frac{y}{4} = 6\]

\[\frac{2y}{4} = 6\]

\[\frac{y}{2} = 6\]

\[y = 12\]

Шаг 3: Теперь найдем x: \[x = - \frac{5 \cdot 12}{4} = -15\]

Теперь решение сходится.

Но подставим в исходные уравнения: \[\begin{cases}\frac{y}{4} - \frac{x}{5} = 6, \\ \frac{x}{15} + \frac{y}{12} = 0;\end{cases}\] \[\begin{cases}\frac{12}{4} - \frac{-15}{5} = 6, \\ \frac{-15}{15} + \frac{12}{12} = 0;\end{cases}\] \[\begin{cases}3 + 3 = 6, \\ -1 + 1 = 0;\end{cases}\] Первое решение сходится, но по невнимательности мною была допущена ошибка. Необходимо пересмотреть решение.

Выразим y из первого уравнения: \[\frac{y}{4} = \frac{x}{5} + 6\]

\[y = \frac{4x}{5} + 24\]

Подставим во второе: \[\frac{x}{15} + \frac{\frac{4x}{5} + 24}{12} = 0\]

\[\frac{x}{15} + \frac{4x}{60} + \frac{24}{12} = 0\]

\[\frac{x}{15} + \frac{x}{15} + 2 = 0\]

\[\frac{2x}{15} = -2\]

\[x = -15\]

Тогда y = \[y = \frac{4 \cdot -15}{5} + 24 = \frac{-60}{5} + 24 = -12 + 24 = 12\]

Проверим еще раз решение: \[\begin{cases}\frac{12}{4} - \frac{-15}{5} = 6, \\ \frac{-15}{15} + \frac{12}{12} = 0;\end{cases}\] \[\begin{cases}3 + 3 = 6, \\ -1 + 1 = 0;\end{cases}\]

Подставим во второе уравнение:

\[\frac{-15}{15} + \frac{12}{12} = -1 + 1 = 0\]

Всё сходится! Значит нужно искать ошибку в другом решении. Проверяем предыдущие решения и находим ошибку!

б) Решение системы уравнений

Дана система уравнений: \[\begin{cases}\frac{6x}{5} + \frac{y}{15} = 2.3 \\ \frac{x}{10} - \frac{2y}{3} = 1.2\end{cases}\]

Шаг 1: Умножим первое уравнение на 15 и второе уравнение на 30, чтобы избавиться от дробей:

\[\begin{cases}18x + y = 34.5 \\ 3x - 20y = 36\end{cases}\]

Шаг 2: Умножим первое уравнение на 20:

\[360x + 20y = 690\]

Шаг 3: Сложим уравнения, чтобы исключить y:

\[360x + 20y + 3x - 20y = 690 + 36\]

\[363x = 726\]

Шаг 4: Найдем x:

\[x = \frac{726}{363} = 2\]

Шаг 5: Подставим значение x в первое уравнение, чтобы найти y:

\[18(2) + y = 34.5\]

\[36 + y = 34.5\]

\[y = 34.5 - 36 = -1.5\]

Шаг 6: Проверка решения. Подставим найденные значения x и y в исходные уравнения:

\[\frac{6(2)}{5} + \frac{-1.5}{15} = \frac{12}{5} - \frac{1.5}{15} = 2.4 - 0.1 = 2.3\] \[\frac{2}{10} - \frac{2(-1.5)}{3} = \frac{1}{5} + 1 = 0.2 + 1 = 1.2\]

По старой схеме был допущен просчет, поменяем логику и решим систему по-другому. Решим это методом подстановки.

Выразим y из первого уравнения: \[\frac{y}{15} = 2.3 - \frac{6x}{5}\]

\[y = 15 \cdot (2.3 - \frac{6x}{5}) = 34.5 - 18x\]

Подставим во второе уравнение: \[\frac{x}{10} - \frac{2(34.5 - 18x)}{3} = 1.2\]

\[\frac{x}{10} - \frac{69 - 36x}{3} = 1.2\]

\[\frac{x}{10} - 23 + 12x = 1.2\]

\[\frac{x}{10} + 12x = 24.2\]

\[\frac{x + 120x}{10} = 24.2\]

\[121x = 242\]

\[x = 2\]

Теперь найдем y: \[y = 34.5 - 18 \cdot 2 = 34.5 - 36 = -1.5\]

Проверим еще раз решение: \[\begin{cases}\frac{6x}{5} + \frac{y}{15} = 2.3 \\ \frac{x}{10} - \frac{2y}{3} = 1.2\end{cases}\] \[\begin{cases}\frac{6(2)}{5} + \frac{-1.5}{15} = 2.3 \\ \frac{2}{10} - \frac{2(-1.5)}{3} = 1.2\end{cases}\] \[\begin{cases}\frac{12}{5} - \frac{1.5}{15} = 2.3 \\ \frac{1}{5} + \frac{3}{3} = 1.2\end{cases}\] \[\begin{cases}2.4 - 0.1 = 2.3 \\ 0.2 + 1 = 1.2\end{cases}\]