Решите систему уравнений: a) \begin{cases} x + y = 3 \\ 4x - 3y = -16 \end{cases} b) \begin{cases} x - 3y = 8 \\ 2x + 5y = 5 \end{cases}

Решение: a) \begin{cases} x + y = 3 \\ 4x - 3y = -16 \end{cases} Выразим x из первого уравнения: $$x = 3 - y$$. Подставим это значение x во второе уравнение: $$4(3 - y) - 3y = -16$$. Раскроем скобки: $$12 - 4y - 3y = -16$$. Приведем подобные слагаемые: $$12 - 7y = -16$$. Перенесем 12 в правую часть: $$-7y = -16 - 12$$. $$-7y = -28$$. Разделим обе части на -7: $$y = \frac{-28}{-7} = 4$$. Теперь подставим значение y в уравнение $$x = 3 - y$$: $$x = 3 - 4 = -1$$. Ответ: $$x = -1, y = 4$$. b) \begin{cases} x - 3y = 8 \\ 2x + 5y = 5 \end{cases} Выразим x из первого уравнения: $$x = 8 + 3y$$. Подставим это значение x во второе уравнение: $$2(8 + 3y) + 5y = 5$$. Раскроем скобки: $$16 + 6y + 5y = 5$$. Приведем подобные слагаемые: $$16 + 11y = 5$$. Перенесем 16 в правую часть: $$11y = 5 - 16$$. $$11y = -11$$. Разделим обе части на 11: $$y = \frac{-11}{11} = -1$$. Теперь подставим значение y в уравнение $$x = 8 + 3y$$: $$x = 8 + 3(-1) = 8 - 3 = 5$$. Ответ: $$x = 5, y = -1$$. Разъяснение для учеников: В этих заданиях требуется решить систему уравнений методом подстановки. Этот метод заключается в том, чтобы выразить одну переменную через другую в одном из уравнений, а затем подставить это выражение в другое уравнение. Таким образом, мы получаем уравнение только с одной переменной, которое можно решить. После нахождения значения этой переменной, подставляем его обратно в первое уравнение, чтобы найти значение второй переменной. Например, в первом случае, в пункте (а), мы выразили $$x$$ через $$y$$ из первого уравнения ($$x = 3 - y$$), а затем подставили это выражение во второе уравнение. Это позволило нам найти значение $$y$$, а затем и значение $$x$$. То же самое было проделано и в пункте (б). Этот метод особенно полезен, когда одна из переменных легко выражается через другую в одном из уравнений.