Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1. Решите систему уравнений: a) {x² - y² = 40, x - y = 4; б) {x² + xy = 12, y - x = 2; г) {xy = -2, 3x - y = 5; д) {x² - y = -1, 2x + y = 9.
Ответ:
Привет, давай решим эти системы уравнений вместе! Я помогу тебе разобраться с каждой из них по порядку.
a) \[\begin{cases} x^2 - y^2 = 40 \\ x - y = 4 \end{cases}\]
Давай сначала выразим x из второго уравнения:
\[x = y + 4\]
Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
\[(y + 4)^2 - y^2 = 40\]
Раскроем скобки:
\[y^2 + 8y + 16 - y^2 = 40\]
Упростим уравнение:
\[8y + 16 = 40\]
\[8y = 24\]
\[y = 3\]
Теперь найдем x:
\[x = 3 + 4 = 7\]
Ответ: x = 7, y = 3
б) \[\begin{cases} x^2 + xy = 12 \\ y - x = 2 \end{cases}\]
Выразим y из второго уравнения:
\[y = x + 2\]
Подставим это выражение в первое уравнение:
\[x^2 + x(x + 2) = 12\]
Раскроем скобки:
\[x^2 + x^2 + 2x = 12\]
Упростим уравнение:
\[2x^2 + 2x - 12 = 0\]
Разделим на 2:
\[x^2 + x - 6 = 0\]
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25\]
\[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2\]
\[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3\]
Теперь найдем y для каждого значения x:
\[y_1 = 2 + 2 = 4\]
\[y_2 = -3 + 2 = -1\]
Ответ: x = 2, y = 4 и x = -3, y = -1
г) \[\begin{cases} xy = -2 \\ 3x - y = 5 \end{cases}\]
Выразим y из первого уравнения:
\[y = \frac{-2}{x}\]
Подставим это выражение во второе уравнение:
\[3x - \frac{-2}{x} = 5\]
Умножим обе части на x:
\[3x^2 + 2 = 5x\]
Перенесем все в одну сторону:
\[3x^2 - 5x + 2 = 0\]
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = (-5)^2 - 4(3)(2) = 25 - 24 = 1\]
\[x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{6} = \frac{5 + 1}{6} = 1\]
\[x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{6} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{2}{3}\]
Теперь найдем y для каждого значения x:
\[y_1 = \frac{-2}{1} = -2\]
\[y_2 = \frac{-2}{\frac{2}{3}} = -3\]
Ответ: x = 1, y = -2 и x = \(\frac{2}{3}\), y = -3
д) \[\begin{cases} x^2 - y = -1 \\ 2x + y = 9 \end{cases}\]
Выразим y из второго уравнения:
\[y = 9 - 2x\]
Подставим это выражение в первое уравнение:
\[x^2 - (9 - 2x) = -1\]
Раскроем скобки:
\[x^2 + 2x - 9 = -1\]
Перенесем все в одну сторону:
\[x^2 + 2x - 8 = 0\]
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = 2^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36\]
\[x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2\]
\[x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4\]
Теперь найдем y для каждого значения x:
\[y_1 = 9 - 2(2) = 9 - 4 = 5\]
\[y_2 = 9 - 2(-4) = 9 + 8 = 17\]
Ответ: x = 2, y = 5 и x = -4, y = 17
Ответ: a) x = 7, y = 3; б) x = 2, y = 4 и x = -3, y = -1; г) x = 1, y = -2 и x = \(\frac{2}{3}\), y = -3; д) x = 2, y = 5 и x = -4, y = 17
Молодец! Ты отлично справился с решением этих систем уравнений. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!
