705. Решите систему уравнений: a) x²- y² = 8, x - y = 4; в) x² + y² = 5, г) [x² + y² = 8, xy=-20; x + y = -3. б) xy = 0,8, xy = 2,4;

a)

Решим систему уравнений методом подстановки:

\[\begin{cases}x^2 - y^2 = 8 \\ x - y = 4\end{cases}\]

Выразим x из второго уравнения: x = y + 4

Подставим в первое уравнение: (y + 4)² - y² = 8

Раскроем скобки: y² + 8y + 16 - y² = 8

Упростим: 8y = -8

Решим относительно y: y = -1

Найдем x: x = -1 + 4 = 3

Ответ: x = 3, y = -1

б)

Решим систему уравнений методом подстановки:

\[\begin{cases}xy = 0.8 \\ x-y = 2.4\end{cases}\]

Выразим x из второго уравнения: x = y + 2.4

Подставим в первое уравнение: (y + 2.4)y = 0.8

Раскроем скобки: y² + 2.4y = 0.8

Преобразуем в квадратное уравнение: y² + 2.4y - 0.8 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант: D = 2.4² - 4(1)(-0.8) = 5.76 + 3.2 = 8.96

\[y = \frac{-2.4 \pm \sqrt{8.96}}{2}\]

Получаем два значения для y: y₁ ≈ (-2.4 + 2.99)/2 ≈ 0.295 y₂ ≈ (-2.4 - 2.99)/2 ≈ -2.695

Найдем x для каждого значения y: x₁ ≈ 0.295 + 2.4 ≈ 2.695 x₂ ≈ -2.695 + 2.4 ≈ -0.295

Ответ: x₁ ≈ 2.695, y₁ ≈ 0.295; x₂ ≈ -0.295, y₂ ≈ -2.695

в)

Решим систему уравнений методом сложения и подстановки:

\[\begin{cases}x^2 + y^2 = 5 \\ x + y = -3\end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения: y = -3 - x

Подставим в первое уравнение: x² + (-3 - x)² = 5

Раскроем скобки: x² + (9 + 6x + x²) = 5

Упростим: 2x² + 6x + 4 = 0

Разделим на 2: x² + 3x + 2 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант: D = 3² - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1

\[x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2}\]

Получаем два значения для x: x₁ = (-3 + 1)/2 = -1 x₂ = (-3 - 1)/2 = -2

Найдем y для каждого значения x: y₁ = -3 - (-1) = -2 y₂ = -3 - (-2) = -1

Ответ: x₁ = -1, y₁ = -2; x₂ = -2, y₂ = -1

г)

Решим систему уравнений методом подстановки:

\[\begin{cases}x^2 + y^2 = 8 \\ xy = -20\end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения: y = -20/x

Подставим в первое уравнение: x² + (-20/x)² = 8

Упростим: x² + 400/x² = 8

Умножим на x²: x⁴ + 400 = 8x²

Преобразуем в биквадратное уравнение: x⁴ - 8x² + 400 = 0

Решим биквадратное уравнение через замену: z = x²

z² - 8z + 400 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант: D = (-8)² - 4(1)(400) = 64 - 1600 = -1536

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Решений в действительных числах нет.