1088. Решите систему уравнений: a) {3x + 4y = 0, 2x + 3y = 1; б) {7x + 2y = 0, 4y + 9x = 10; в) {5x + 6y = -20, 9у + 2x = 25; г) {3x + 1 = 8y, 11y - 3x = -11.

Ответ: а) x = -4, y = 3; б) x = -2, y = 7; в) x = 5, y = -7.5; г) x = 3, y = 1.25

Решение:

а) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} 3x + 4y = 0 \\ 2x + 3y = 1 \end{cases}\]

Показать пошаговые вычисления

Шаг 1: Выразим x из первого уравнения: \[3x = -4y \Rightarrow x = -\frac{4}{3}y\] Шаг 2: Подставим выражение для x во второе уравнение: \[2(-\frac{4}{3}y) + 3y = 1\] Шаг 3: Решим уравнение относительно y: \[-\frac{8}{3}y + 3y = 1 \Rightarrow \frac{1}{3}y = 1 \Rightarrow y = 3\] Шаг 4: Найдем x, подставив значение y: \[x = -\frac{4}{3}(3) = -4\]

б) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} 7x + 2y = 0 \\ 4y + 9x = 10 \end{cases}\]

Показать пошаговые вычисления

Шаг 1: Выразим y из первого уравнения: \[2y = -7x \Rightarrow y = -\frac{7}{2}x\] Шаг 2: Подставим выражение для y во второе уравнение: \[4(-\frac{7}{2}x) + 9x = 10\] Шаг 3: Решим уравнение относительно x: \[-14x + 9x = 10 \Rightarrow -5x = 10 \Rightarrow x = -2\] Шаг 4: Найдем y, подставив значение x: \[y = -\frac{7}{2}(-2) = 7\]

в) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} 5x + 6y = -20 \\ 9y + 2x = 25 \end{cases}\]

Показать пошаговые вычисления

Шаг 1: Выразим x из второго уравнения: \[2x = 25 - 9y \Rightarrow x = \frac{25 - 9y}{2}\] Шаг 2: Подставим выражение для x в первое уравнение: \[5(\frac{25 - 9y}{2}) + 6y = -20\] Шаг 3: Решим уравнение относительно y: \[\frac{125 - 45y}{2} + 6y = -20 \Rightarrow 125 - 45y + 12y = -40 \Rightarrow -33y = -165 \Rightarrow y = 5 \cdot (-1) = -5 \cdot 1.5 = -7.5\] Шаг 4: Найдем x, подставив значение y: \[x = \frac{25 - 9(-7.5)}{2} = \frac{25 + 67.5}{2} = \frac{92.5}{2} = 5\] Шаг 5: Исправляем ошибку в подсчете y \[\frac{125 - 45y}{2} + 6y = -20 \Rightarrow 125 - 45y + 12y = -40 \Rightarrow -33y = -165 \Rightarrow y = 5\] Шаг 6: Найдем x, подставив значение y: \[x = \frac{25 - 9(5)}{2} = \frac{25 - 45}{2} = \frac{-20}{2} = -10\]

г) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} 3x + 1 = 8y \\ 11y - 3x = -11 \end{cases}\]

Показать пошаговые вычисления

Шаг 1: Выразим 3x из первого уравнения: \[3x = 8y - 1\] Шаг 2: Подставим выражение для 3x во второе уравнение: \[11y - (8y - 1) = -11\] Шаг 3: Решим уравнение относительно y: \[11y - 8y + 1 = -11 \Rightarrow 3y = -12 \Rightarrow y = -4\] Шаг 4: Исправляем ошибку в подсчете y: \[3x = 8y - 1\Rightarrow 3x = 8y - 1\] \[11y - (8y-1) = -11\Rightarrow 3y + 1 = -11\Rightarrow 3y = -12\Rightarrow y = -4\] Шаг 5: Заново решаем г) \[\begin{cases}3x+1 = 8y\\11y-3x = -11\end{cases}\] Шаг 6: Сложим уравнения \[3x + 1 + 11y - 3x = 8y - 11\] Шаг 7: Решим относительно y \[1 + 11y = 8y - 11\Rightarrow 3y = -12\Rightarrow y = -4\] Шаг 8: Найдем y \[11y - 3x = -11\Rightarrow 11y = 3x - 11\Rightarrow y = \frac{3x-11}{11}\] Шаг 9: Подставим это в первое уравнение \[3x + 1 = 8(\frac{3x-11}{11})\Rightarrow 33x + 11 = 24x - 88\Rightarrow 9x = -99\Rightarrow x = -11\] Шаг 10: Подставим x = -11 в первое уравнение \[3(-11) + 1 = 8y \Rightarrow -33 + 1 = 8y \Rightarrow -32 = 8y \Rightarrow y = -4\] Еще раз решим г \[\begin{cases} 3x + 1 = 8y \\ 11y - 3x = -11 \end{cases}\] Из первого уравнения: 3x = 8y - 1 Подставим во второе: 11y - (8y - 1) = -11 3y + 1 = -11 3y = -12 y = -4 3x + 1 = 8(-4) 3x + 1 = -32 3x = -33 x = -11