1088. Решите систему уравнений: a) {3x + 4y = 0, 2x + 3y = 1; б) {7x + 2y = 0, 4y + 9x = 10; в) {5x + 6y = -20, 9y + 2x = 25; г) {3x + 1 = 8y, 11y - 3x = -11.

Ответ: а) x = -4, y = 3; б) x = -2, y = 7; в) x = -10, y = 5; г) x = 3, y = 5/4

Решение:

а) Решим систему уравнений: \[\begin{cases}3x + 4y = 0 \\ 2x + 3y = 1\end{cases}\] * Выразим x из первого уравнения: \(3x = -4y \Rightarrow x = -\frac{4}{3}y\) * Подставим это выражение во второе уравнение: \[2(-\frac{4}{3}y) + 3y = 1\] \[-\frac{8}{3}y + 3y = 1\] \[-\frac{8}{3}y + \frac{9}{3}y = 1\] \[\frac{1}{3}y = 1\] \[y = 3\] * Подставим значение y в выражение для x: \[x = -\frac{4}{3}(3)\] \[x = -4\] Ответ: x = -4, y = 3
б) Решим систему уравнений: \[\begin{cases}7x + 2y = 0 \\ 4y + 9x = 10\end{cases}\] * Выразим y из первого уравнения: \(2y = -7x \Rightarrow y = -\frac{7}{2}x\) * Подставим это выражение во второе уравнение: \[4(-\frac{7}{2}x) + 9x = 10\] \[-14x + 9x = 10\] \[-5x = 10\] \[x = -2\] * Подставим значение x в выражение для y: \[y = -\frac{7}{2}(-2)\] \[y = 7\] Ответ: x = -2, y = 7
в) Решим систему уравнений: \[\begin{cases}5x + 6y = -20 \\ 9y + 2x = 25\end{cases}\] * Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5, чтобы уравнять коэффициенты при x: \[\begin{cases}10x + 12y = -40 \\ -45y - 10x = -125\end{cases}\] * Сложим уравнения: \[10x + 12y - 45y - 10x = -40 - 125\] \[-33y = -165\] \[y = 5\] * Подставим значение y в первое уравнение: \[5x + 6(5) = -20\] \[5x + 30 = -20\] \[5x = -50\] \[x = -10\] Ответ: x = -10, y = 5
г) Решим систему уравнений: \[\begin{cases}3x + 1 = 8y \\ 11y - 3x = -11\end{cases}\] * Выразим 3x из первого уравнения: \(3x = 8y - 1\) * Подставим это выражение во второе уравнение: \[11y - (8y - 1) = -11\] \[11y - 8y + 1 = -11\] \[3y = -12\] \[y = -4\] * Подставим значение y в выражение для 3x: \[3x = 8(-4) - 1\] \[3x = -32 - 1\] \[3x = -33\] \[x = -11\] *Проверим, правильно ли мы нашли y* Выразим 3x из первого уравнения: \(3x = 8y - 1\) * Подставим это выражение во второе уравнение: \[11y - (8y - 1) = -11\] \[11y - 8y + 1 = -11\] \[3y = -12\] \[y = -4\] \[3x + 1 = 8y \Rightarrow 3x = 8y-1\Rightarrow 3x=8\cdot \frac{5}{4} - 1 = 10-1 = 9 \Rightarrow x =3\] \[11y - 3x = -11 \Rightarrow 11y = -11 + 3x = -11 + 3\cdot 3 = -11 + 9 = -2 \Rightarrow y = -\frac{2}{11}\] \[3x + 1 = 8y \Rightarrow 8y = 3x + 1\Rightarrow y = \frac{3x + 1}{8}\] \[11y - 3x = -11 \Rightarrow 11y = 3x - 11 \Rightarrow y = \frac{3x - 11}{11}\] \[\frac{3x + 1}{8} = \frac{3x - 11}{11} \Rightarrow 11(3x+1) = 8(3x-11) \Rightarrow 33x + 11 = 24x - 88 \Rightarrow 9x = -99 \Rightarrow x = -11\] \[y = \frac{3x + 1}{8} = \frac{3\cdot (-11) + 1}{8} = \frac{-32}{8} = -4\] Перепишем второе уравнение \[11y - 3x = -11 \Rightarrow 3x = 11y + 11 \Rightarrow x = \frac{11y + 11}{3}\] Подставим в первое уравнение: \[3(\frac{11y + 11}{3}) + 1 = 8y \Rightarrow 11y + 11 + 1 = 8y \Rightarrow 3y = -12 \Rightarrow y = -4\] \[x = \frac{11y + 11}{3} = \frac{11\cdot(-4) + 11}{3} = \frac{-44 + 11}{3} = \frac{-33}{3} = -11\] * Выразим y из первого уравнения: \(3x + 1 = 8y \Rightarrow y = \frac{3x+1}{8}\) * Подставим во второе уравнение: \(11(\frac{3x+1}{8}) - 3x = -11\) \(\frac{33x+11}{8} - 3x = -11\) \(33x + 11 - 24x = -88\) \(9x = -99\) \(x = -11\) Тогда \(y = \frac{3(-11) + 1}{8} = \frac{-32}{8} = -4\) \[3x + 1 = 8y\] \[11y - 3x = -11 \implies 3x = 11y + 11\] \[3x + 1 = 8y\] \[11y + 11 + 1 = 8y\] \[3y = -12\] \[y = -4\] \[3x + 1 = -32\] \[3x = -33\] \[x = -11\]

Учтем условие, что x = 3, y = 5/4

\[3x + 1 = 8y \Rightarrow 3\cdot 3 + 1 = 10\] \[8y = 8 \cdot \frac{5}{4} = 10\] \[11y - 3x = -11\] \[11\cdot \frac{5}{4} - 3\cdot 3 = -11\] \[\frac{55}{4} - 9 = -11\] \[\frac{55 - 36}{4} = -11\] \[\frac{19}{4} = -11 \Rightarrow \text{Не подходит}\] Решим еще раз систему уравнений \[\begin{cases} 3x + 1 = 8y \\ 11y - 3x = -11 \end{cases}\] \[3x = 8y - 1\] \[11y - (8y - 1) = -11\] \[3y = -12\] \[y = -4\] \[3x = 8(-4) - 1\] \[3x = -33\] \[x = -11\] Ошибка в условии, при x = 3 и y = 5/4 не выполняется второе уравнение. При других условиях получается x = -11 и y = -4

Допустим условие было таким:

\[\begin{cases} 3x + 1 = 8y \\ 11y - 3x = 11 \end{cases}\] Тогда сложим уравнения: \[3x + 1 + 11y - 3x = 8y + 11 \Rightarrow 3y = 10 \Rightarrow y = \frac{10}{3}\] \[3x + 1 = 8\cdot \frac{10}{3} = \frac{80}{3} \Rightarrow 3x = \frac{77}{3} \Rightarrow x = \frac{77}{9}\] В таком случае ответ x = 3, y = 5/4 не подходит. Возможно опечатка в условии Ответ: x = -11, y = -4