37.5. Решите систему уравнений: a) {x + y = -8, xy = -20; б) {x - y = 1, xy = 42.

а)

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = -8, \\ xy = -20. \end{cases}$$

Выразим x через y из первого уравнения:

$$x = -8 - y$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$(-8 - y)y = -20$$ $$-8y - y^2 = -20$$ $$y^2 + 8y - 20 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно y. Найдем дискриминант D:

$$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$$

Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня:

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 12}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 12}{2} = \frac{-20}{2} = -10$$

Найдем соответствующие значения x:

При y = 2:

$$x_1 = -8 - y_1 = -8 - 2 = -10$$

При y = -10:

$$x_2 = -8 - y_2 = -8 - (-10) = -8 + 10 = 2$$

Ответ: (-10; 2), (2; -10)

Ответ: (-10; 2), (2; -10)

б)

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 42. \end{cases}$$

Выразим x через y из первого уравнения:

$$x = 1 + y$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$(1 + y)y = 42$$ $$y + y^2 = 42$$ $$y^2 + y - 42 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно y. Найдем дискриминант D:

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$$

Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два корня:

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

Найдем соответствующие значения x:

При y = 6:

$$x_1 = 1 + y_1 = 1 + 6 = 7$$

При y = -7:

$$x_2 = 1 + y_2 = 1 + (-7) = 1 - 7 = -6$$

Ответ: (7; 6), (-6; -7)

Ответ: (7; 6), (-6; -7)