1. Решите систему уравнений a) {2x - y = 5, x² + 6y + 2 = 0. б) {x - y = 5, 1/x + 1/y = 1/6 2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диагональ равна 5 см. Найдите площадь этого прямоугольника.

1. Решите систему уравнений

а)

1. Шаг 1: Выразим y из первого уравнения:
\[2x - y = 5 \Rightarrow y = 2x - 5\]
2. Шаг 2: Подставим y во второе уравнение: \[x^2 + 6(2x - 5) + 2 = 0\] \[x^2 + 12x - 30 + 2 = 0\] \[x^2 + 12x - 28 = 0\]
3. Шаг 3: Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4(1)(-28) = 144 + 112 = 256\) Корни: \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + 16}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - 16}{2} = -14\)
4. Шаг 4: Найдем соответствующие значения y: Для \(x_1 = 2\): \(y_1 = 2(2) - 5 = -1\) Для \(x_2 = -14\): \(y_2 = 2(-14) - 5 = -33\)

Ответ: (2, -1), (-14, -33)

б)

1. Шаг 1: Выразим x из первого уравнения:
\[x - y = 5 \Rightarrow x = y + 5\]
2. Шаг 2: Преобразуем второе уравнение: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{x + y}{xy} = \frac{1}{6}\]
3. Шаг 3: Подставим x во второе уравнение: \[\frac{(y + 5) + y}{(y + 5)y} = \frac{1}{6}\] \[\frac{2y + 5}{y^2 + 5y} = \frac{1}{6}\] \[6(2y + 5) = y^2 + 5y\] \[12y + 30 = y^2 + 5y\] \[y^2 - 7y - 30 = 0\]
4. Шаг 4: Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \(D = (-7)^2 - 4(1)(-30) = 49 + 120 = 169\) Корни: \(y_1 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2} = \frac{7 + 13}{2} = 10\), \(y_2 = \frac{7 - \sqrt{169}}{2} = \frac{7 - 13}{2} = -3\)
5. Шаг 5: Найдем соответствующие значения x: Для \(y_1 = 10\): \(x_1 = 10 + 5 = 15\) Для \(y_2 = -3\): \(x_2 = -3 + 5 = 2\)

Ответ: (15, 10), (2, -3)

2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диагональ равна 5 см. Найдите площадь этого прямоугольника.

1. Шаг 1: Запишем известные данные: Периметр \(P = 14\) см, диагональ \(d = 5\) см. Пусть стороны прямоугольника \(a\) и \(b\). Тогда \(P = 2(a + b)\), а по теореме Пифагора \(a^2 + b^2 = d^2\).
2. Шаг 2: Составим систему уравнений: \[\begin{cases} 2(a + b) = 14 \\ a^2 + b^2 = 5^2 \end{cases}\] \[\begin{cases} a + b = 7 \\ a^2 + b^2 = 25 \end{cases}\]
3. Шаг 3: Выразим \(b\) из первого уравнения: \(b = 7 - a\).
4. Шаг 4: Подставим \(b\) во второе уравнение: \[a^2 + (7 - a)^2 = 25\] \[a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25\] \[2a^2 - 14a + 24 = 0\] \[a^2 - 7a + 12 = 0\]
5. Шаг 5: Решим квадратное уравнение: Дискриминант: \(D = (-7)^2 - 4(1)(12) = 49 - 48 = 1\) Корни: \(a_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4\), \(a_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7 - 1}{2} = 3\)
6. Шаг 6: Найдем соответствующие значения \(b\): Если \(a = 4\), то \(b = 7 - 4 = 3\). Если \(a = 3\), то \(b = 7 - 3 = 4\).
7. Шаг 7: Вычислим площадь прямоугольника:
\[S = a \cdot b = 4 \cdot 3 = 12\]

Ответ: 12 см²