498. Решите систему уравнений: a) {1/x + 1/y = 1/6, 2x - y = 5; б) {1/x - 1/y = 1/20, x + 2y = 14; в) {x + y = 14, x/y + y/x = 2 1/12; г) {x - y = 2, x/y - y/x = 5/6

Привет! Сейчас разберем эти системы уравнений. Будет интересно!

a)

Умножим первое уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей:

\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{6}{x} + \frac{6}{y} = 1\]

Пусть a = 1/x и b = 1/y. Тогда система уравнений будет выглядеть так:

\[\begin{cases} 6a + 6b = 1 \\ \frac{2}{a} - \frac{1}{b} = 5 \end{cases}\]

Выразим a из первого уравнения: 6a = 1 - 6b \Rightarrow a = \frac{1 - 6b}{6}

Подставим это во второе уравнение:

\[\frac{2}{\frac{1-6b}{6}} - \frac{1}{b} = 5 \Rightarrow \frac{12}{1-6b} - \frac{1}{b} = 5\]

Приведем к общему знаменателю и решим уравнение относительно b:

\[\frac{12b - (1 - 6b)}{b(1 - 6b)} = 5 \Rightarrow 12b - 1 + 6b = 5b(1 - 6b)\]

\[18b - 1 = 5b - 30b^2 \Rightarrow 30b^2 + 13b - 1 = 0\]

Решим квадратное уравнение:

\[D = 13^2 - 4 \cdot 30 \cdot (-1) = 169 + 120 = 289 = 17^2\]

\[b_1 = \frac{-13 + 17}{60} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}, \quad b_2 = \frac{-13 - 17}{60} = \frac{-30}{60} = -\frac{1}{2}\]

Тогда y_1 = 15, y_2 = -2

Найдем соответствующие значения x:

Если y = 15, то 2x - 15 = 5 \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10

Если y = -2, то 2x - (-2) = 5 \Rightarrow 2x + 2 = 5 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}

Ответ: (10, 15) и (3/2, -2)

Не забудь проверить свои ответы, чтобы убедиться, что они верны.