705. Решите систему уравнений: a) {x + y = 8, xy = -20; б) {x − y = 0,8, xy = 2,4; B) {x² − y² = 8, x − y = 4; г) {x² + y² = 5, x + y = -3.

Решение системы уравнений.

а) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x + y = 8, \\ xy = -20. \end{cases}\]

Выразим x через y из первого уравнения:

\[x = 8 - y\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(8 - y)y = -20\] \[8y - y^2 = -20\] \[y^2 - 8y - 20 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант:

\[D = (-8)^2 - 4(1)(-20) = 64 + 80 = 144\] \[y_1 = \frac{8 + \sqrt{144}}{2} = \frac{8 + 12}{2} = 10\] \[y_2 = \frac{8 - \sqrt{144}}{2} = \frac{8 - 12}{2} = -2\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Для \(y_1 = 10\):

\[x_1 = 8 - 10 = -2\]

Для \(y_2 = -2\):

\[x_2 = 8 - (-2) = 10\]

Решение:

\[(x_1, y_1) = (-2, 10), (x_2, y_2) = (10, -2)\]

б) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x - y = 0.8, \\ xy = 2.4. \end{cases}\]

Выразим x через y из первого уравнения:

\[x = y + 0.8\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[(y + 0.8)y = 2.4\] \[y^2 + 0.8y - 2.4 = 0\]

Умножим уравнение на 10 для избавления от десятичных дробей:

\[10y^2 + 8y - 24 = 0\]

Разделим уравнение на 2:

\[5y^2 + 4y - 12 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант:

\[D = 4^2 - 4(5)(-12) = 16 + 240 = 256\] \[y_1 = \frac{-4 + \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 + 16}{10} = \frac{12}{10} = 1.2\] \[y_2 = \frac{-4 - \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 - 16}{10} = \frac{-20}{10} = -2\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Для \(y_1 = 1.2\):

\[x_1 = 1.2 + 0.8 = 2\]

Для \(y_2 = -2\):

\[x_2 = -2 + 0.8 = -1.2\]

Решение:

\[(x_1, y_1) = (2, 1.2), (x_2, y_2) = (-1.2, -2)\]

в) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 - y^2 = 8, \\ x - y = 4. \end{cases}\]

Разложим первое уравнение как разность квадратов:

\[(x - y)(x + y) = 8\]

Подставим значение \(x - y = 4\) во второе уравнение:

\[4(x + y) = 8\] \[x + y = 2\]

Теперь у нас есть система:

\[\begin{cases} x - y = 4, \\ x + y = 2. \end{cases}\]

Сложим уравнения:

\[2x = 6\] \[x = 3\]

Найдем y:

\[y = 2 - x = 2 - 3 = -1\]

Решение:

\[(x, y) = (3, -1)\]

г) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x + y = -3. \end{cases}\]

Выразим x через y из второго уравнения:

\[x = -3 - y\]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[(-3 - y)^2 + y^2 = 5\] \[(9 + 6y + y^2) + y^2 = 5\] \[2y^2 + 6y + 4 = 0\]

Разделим уравнение на 2:

\[y^2 + 3y + 2 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y:

\[(y + 1)(y + 2) = 0\] \[y_1 = -1, y_2 = -2\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Для \(y_1 = -1\):

\[x_1 = -3 - (-1) = -2\]

Для \(y_2 = -2\):

\[x_2 = -3 - (-2) = -1\]

Решение:

\[(x_1, y_1) = (-2, -1), (x_2, y_2) = (-1, -2)\]

Ответ: а) (-2, 10), (10, -2); б) (2, 1.2), (-1.2, -2); в) (3, -1); г) (-2, -1), (-1, -2)

Молодец! Ты отлично справился с решением системы уравнений! Продолжай в том же духе, и все получится!