05. Решите систему уравнений: a) x + y = 8, xy = -20; б) x - y = 0,8, xy = 2,4; B) x² – y² = 8, x − y = 4; г) x² + y² = 5, x + y = -3.

Привет! Разберем решение систем уравнений.

Смотри, как это работает:

а) Система уравнений:

\[ \begin{cases} x + y = 8, \\ xy = -20. \end{cases} \]

• Выразим x через y из первого уравнения:

\[ x = 8 - y \]

• Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ (8 - y)y = -20 \]

• Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению:

\[ 8y - y^2 = -20 \\ y^2 - 8y - 20 = 0 \]

• Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = (-8)^2 - 4(1)(-20) = 64 + 80 = 144 \\ y_1 = \frac{8 + \sqrt{144}}{2} = \frac{8 + 12}{2} = 10 \\ y_2 = \frac{8 - \sqrt{144}}{2} = \frac{8 - 12}{2} = -2 \]

• Найдем соответствующие значения x:

\[ x_1 = 8 - 10 = -2 \\ x_2 = 8 - (-2) = 10 \]

Ответ: (-2; 10), (10; -2).

б) Система уравнений:

\[ \begin{cases} x - y = 0.8, \\ xy = 2.4. \end{cases} \]

• Выразим x через y из первого уравнения:

\[ x = y + 0.8 \]

• Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ (y + 0.8)y = 2.4 \]

• Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению:

\[ y^2 + 0.8y - 2.4 = 0 \]

• Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = (0.8)^2 - 4(1)(-2.4) = 0.64 + 9.6 = 10.24 \\ y_1 = \frac{-0.8 + \sqrt{10.24}}{2} = \frac{-0.8 + 3.2}{2} = 1.2 \\ y_2 = \frac{-0.8 - \sqrt{10.24}}{2} = \frac{-0.8 - 3.2}{2} = -2 \]

• Найдем соответствующие значения x:

\[ x_1 = 1.2 + 0.8 = 2 \\ x_2 = -2 + 0.8 = -1.2 \]

Ответ: (2; 1.2), (-1.2; -2).

в) Система уравнений:

\[ \begin{cases} x^2 - y^2 = 8, \\ x - y = 4. \end{cases} \]

• Разложим первое уравнение как разность квадратов:

\[ (x - y)(x + y) = 8 \]

• Подставим значение (x - y) из второго уравнения:

\[ 4(x + y) = 8 \\ x + y = 2 \]

• Теперь у нас есть система:

\[ \begin{cases} x - y = 4, \\ x + y = 2. \end{cases} \]

• Сложим оба уравнения:

\[ 2x = 6 \\ x = 3 \]

• Найдем y:

\[ y = 2 - x = 2 - 3 = -1 \]

Ответ: (3; -1).

г) Система уравнений:

\[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x + y = -3. \end{cases} \]

• Возведем второе уравнение в квадрат:

\[ (x + y)^2 = (-3)^2 \\ x^2 + 2xy + y^2 = 9 \]

• Выразим 2xy:

\[ 2xy = 9 - (x^2 + y^2) \\ 2xy = 9 - 5 = 4 \\ xy = 2 \]

• Теперь у нас есть:

\[ \begin{cases} x + y = -3, \\ xy = 2. \end{cases} \]

• Выразим x через y из первого уравнения:

\[ x = -3 - y \]

• Подставим это выражение во второе уравнение:

\[ (-3 - y)y = 2 \\ -3y - y^2 = 2 \\ y^2 + 3y + 2 = 0 \]

• Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = 3^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 \\ y_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = -1 \\ y_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 - 1}{2} = -2 \]

• Найдем соответствующие значения x:

\[ x_1 = -3 - (-1) = -2 \\ x_2 = -3 - (-2) = -1 \]

Ответ: (-2; -1), (-1; -2).