705. Решите систему уравнений: a) { x + y = 8, xy = -20; б) х - y = 0,8, { xy = 2,4; 2 2 в) (x² - y² = 8, B x - y = 4; 2 2 г) { x² + y² = 5, x + y = -3.

Решение системы уравнений.

Давай решим каждую систему уравнений по порядку.

a)

Система уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 8, \\ xy = -20. \end{cases} \]

Выразим y через x из первого уравнения: y = 8 - x.

Подставим это выражение во второе уравнение: \[ x(8 - x) = -20 \]\[ 8x - x^2 = -20 \]\[ x^2 - 8x - 20 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[ D = (-8)^2 - 4(1)(-20) = 64 + 80 = 144 \]

Корни: \[ x_1 = \frac{8 + \sqrt{144}}{2} = \frac{8 + 12}{2} = 10 \]\[ x_2 = \frac{8 - \sqrt{144}}{2} = \frac{8 - 12}{2} = -2 \]

Найдем соответствующие значения y: Если x = 10, то y = 8 - 10 = -2. Если x = -2, то y = 8 - (-2) = 10.

Ответ: (10, -2), (-2, 10).

б)

Система уравнений: \[ \begin{cases} x - y = 0.8, \\ xy = 2.4. \end{cases} \]

Выразим x через y из первого уравнения: x = y + 0.8.

Подставим это выражение во второе уравнение: \[ (y + 0.8)y = 2.4 \]\[ y^2 + 0.8y - 2.4 = 0 \]

Умножим на 10 для удобства: \[ 10y^2 + 8y - 24 = 0 \]\[ 5y^2 + 4y - 12 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[ D = 4^2 - 4(5)(-12) = 16 + 240 = 256 \]

Корни: \[ y_1 = \frac{-4 + \sqrt{256}}{10} = \frac{-4 + 16}{10} = 1.2 \]\[ y_2 = \frac{-4 - \sqrt{256}}{10} = \frac{-4 - 16}{10} = -2 \]

Найдем соответствующие значения x: Если y = 1.2, то x = 1.2 + 0.8 = 2. Если y = -2, то x = -2 + 0.8 = -1.2.

Ответ: (2, 1.2), (-1.2, -2).

в)

Система уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - y^2 = 8, \\ x - y = 4. \end{cases} \]

Разложим первое уравнение как разность квадратов: \[ (x - y)(x + y) = 8 \]

Подставим значение x - y = 4: \[ 4(x + y) = 8 \]\[ x + y = 2 \]

Теперь у нас есть система: \[ \begin{cases} x - y = 4, \\ x + y = 2. \end{cases} \]

Сложим уравнения, чтобы найти x: \[ 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \]

Подставим x в одно из уравнений, чтобы найти y: \[ 3 + y = 2 \Rightarrow y = -1 \]

Ответ: (3, -1).

г)

Система уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ x + y = -3. \end{cases} \]

Выразим y через x из второго уравнения: y = -3 - x.

Подставим это выражение в первое уравнение: \[ x^2 + (-3 - x)^2 = 5 \]\[ x^2 + (9 + 6x + x^2) = 5 \]\[ 2x^2 + 6x + 9 = 5 \]\[ 2x^2 + 6x + 4 = 0 \]\[ x^2 + 3x + 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[ D = 3^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 \]

Корни: \[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = -1 \]\[ x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 - 1}{2} = -2 \]

Найдем соответствующие значения y: Если x = -1, то y = -3 - (-1) = -2. Если x = -2, то y = -3 - (-2) = -1.

Ответ: (-1, -2), (-2, -1).