129. Решите систему уравнений: Вариант 2 1) y=4-x, x²+3xy=18; 2) x+y = -5, xy=-14; 3) x-5y = 3, x²-2xy-y²-1; 4) x²+xy-3y=-1, 4x-y=3; 5) 3x-2y = 9, 4x²+6y=7; 6) 6x + y = 5, (x-3)(y+5)=2. Самостоятельная работа «Системы уравнений с двумя переменными» Вариант 1 129. Решите систему уравнений: 1) x=2+y, y²-2xy = 3; 2) x+y=7, xy = 12; 3) y+4x = 6, x²+3xy-y² = 3; 4) x²-xy + y = 16, 3y-x = 14; 5) 2x+3y=3, 3y²-4x=18; 6) 5x+y=-7, (x+4)(y-5)= -4.

Привет! Давай вместе решим эти системы уравнений. Будем двигаться шаг за шагом, и все обязательно получится!

Вариант 2

1) Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} y = 4 - x, \\ x^2 + 3xy = 18 \end{cases}\]

Подставим значение y из первого уравнения во второе:

\[x^2 + 3x(4 - x) = 18\]

\[x^2 + 12x - 3x^2 = 18\]

\[-2x^2 + 12x - 18 = 0\]

\[x^2 - 6x + 9 = 0\]

\[(x - 3)^2 = 0\]

\[x = 3\]

Теперь найдем y:

\[y = 4 - x = 4 - 3 = 1\]

Ответ: x = 3, y = 1

2) Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} x + y = -5, \\ xy = -14 \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: x = -5 - y

Подставим в второе уравнение:

\[(-5 - y)y = -14\]

\[-5y - y^2 = -14\]

\[y^2 + 5y - 14 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = 5^2 - 4(1)(-14) = 25 + 56 = 81\]

\[y_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2\]

\[y_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 - 9}{2} = -7\]

Теперь найдем x:

Если y = 2, то x = -5 - 2 = -7

Если y = -7, то x = -5 - (-7) = 2

Ответ: x = -7, y = 2 и x = 2, y = -7

3) Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} x - 5y = 3, \\ x^2 - 2xy - y^2 = -1 \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: x = 5y + 3

Подставим во второе уравнение:

\[(5y + 3)^2 - 2(5y + 3)y - y^2 = -1\]

\[25y^2 + 30y + 9 - 10y^2 - 6y - y^2 = -1\]

\[14y^2 + 24y + 10 = 0\]

\[7y^2 + 12y + 5 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = 12^2 - 4(7)(5) = 144 - 140 = 4\]

\[y_1 = \frac{-12 + \sqrt{4}}{14} = \frac{-12 + 2}{14} = -\frac{5}{7}\]

\[y_2 = \frac{-12 - \sqrt{4}}{14} = \frac{-12 - 2}{14} = -1\]

Теперь найдем x:

Если y = -5/7, то x = 5(-5/7) + 3 = -25/7 + 21/7 = -4/7

Если y = -1, то x = 5(-1) + 3 = -2

Ответ: x = -4/7, y = -5/7 и x = -2, y = -1

4) Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + xy - 3y = -1, \\ 4x - y = 3 \end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения: y = 4x - 3

Подставим в первое уравнение:

\[x^2 + x(4x - 3) - 3(4x - 3) = -1\]

\[x^2 + 4x^2 - 3x - 12x + 9 = -1\]

\[5x^2 - 15x + 10 = 0\]

\[x^2 - 3x + 2 = 0\]

\[(x - 1)(x - 2) = 0\]

Значит, x = 1 или x = 2

Теперь найдем y:

Если x = 1, то y = 4(1) - 3 = 1

Если x = 2, то y = 4(2) - 3 = 5

Ответ: x = 1, y = 1 и x = 2, y = 5

5) Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} 3x - 2y = 9, \\ 4x^2 + 6y = 7 \end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения: y = (3x - 9) / 2

Подставим во второе уравнение:

\[4x^2 + 6(\frac{3x - 9}{2}) = 7\]

\[4x^2 + 9x - 27 = 7\]

\[4x^2 + 9x - 34 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = 9^2 - 4(4)(-34) = 81 + 544 = 625\]

\[x_1 = \frac{-9 + \sqrt{625}}{8} = \frac{-9 + 25}{8} = 2\]

\[x_2 = \frac{-9 - \sqrt{625}}{8} = \frac{-9 - 25}{8} = -\frac{17}{4}\]

Теперь найдем y:

Если x = 2, то y = (3(2) - 9) / 2 = -3/2

Если x = -17/4, то y = (3(-17/4) - 9) / 2 = (-51/4 - 36/4) / 2 = -87/8

Ответ: x = 2, y = -3/2 и x = -17/4, y = -87/8

6) Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} 6x + y = 5, \\ (x - 3)(y + 5) = 2 \end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения: y = 5 - 6x

Подставим во второе уравнение:

\[(x - 3)(5 - 6x + 5) = 2\]

\[(x - 3)(10 - 6x) = 2\]

\[10x - 6x^2 - 30 + 18x = 2\]

\[-6x^2 + 28x - 32 = 0\]

\[3x^2 - 14x + 16 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-14)^2 - 4(3)(16) = 196 - 192 = 4\]

\[x_1 = \frac{14 + \sqrt{4}}{6} = \frac{14 + 2}{6} = \frac{8}{3}\]

\[x_2 = \frac{14 - \sqrt{4}}{6} = \frac{14 - 2}{6} = 2\]

Теперь найдем y:

Если x = 8/3, то y = 5 - 6(8/3) = 5 - 16 = -11

Если x = 2, то y = 5 - 6(2) = 5 - 12 = -7

Ответ: x = 8/3, y = -11 и x = 2, y = -7

Вариант 1

1) Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} x = 2 + y, \\ y^2 - 2xy = 3 \end{cases}\]

Подставим значение x из первого уравнения во второе:

\[y^2 - 2(2 + y)y = 3\]

\[y^2 - 4y - 2y^2 = 3\]

\[-y^2 - 4y - 3 = 0\]

\[y^2 + 4y + 3 = 0\]

\[(y + 1)(y + 3) = 0\]

Значит, y = -1 или y = -3

Теперь найдем x:

Если y = -1, то x = 2 + (-1) = 1

Если y = -3, то x = 2 + (-3) = -1

Ответ: x = 1, y = -1 и x = -1, y = -3

2) Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 12 \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: x = 7 - y

Подставим во второе уравнение:

\[(7 - y)y = 12\]

\[7y - y^2 = 12\]

\[-y^2 + 7y - 12 = 0\]

\[y^2 - 7y + 12 = 0\]

\[(y - 3)(y - 4) = 0\]

Значит, y = 3 или y = 4

Теперь найдем x:

Если y = 3, то x = 7 - 3 = 4

Если y = 4, то x = 7 - 4 = 3

Ответ: x = 4, y = 3 и x = 3, y = 4

3) Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} y + 4x = 6, \\ x^2 + 3xy - y^2 = 3 \end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения: y = 6 - 4x

Подставим во второе уравнение:

\[x^2 + 3x(6 - 4x) - (6 - 4x)^2 = 3\]

\[x^2 + 18x - 12x^2 - (36 - 48x + 16x^2) = 3\]

\[x^2 + 18x - 12x^2 - 36 + 48x - 16x^2 = 3\]

\[-27x^2 + 66x - 39 = 0\]

\[9x^2 - 22x + 13 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-22)^2 - 4(9)(13) = 484 - 468 = 16\]

\[x_1 = \frac{22 + \sqrt{16}}{18} = \frac{22 + 4}{18} = \frac{13}{9}\]

\[x_2 = \frac{22 - \sqrt{16}}{18} = \frac{22 - 4}{18} = 1\]

Теперь найдем y:

Если x = 13/9, то y = 6 - 4(13/9) = 54/9 - 52/9 = 2/9

Если x = 1, то y = 6 - 4(1) = 2

Ответ: x = 13/9, y = 2/9 и x = 1, y = 2

4) Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 - xy + y = 16, \\ 3y - x = 14 \end{cases}\]

Выразим x из второго уравнения: x = 3y - 14

Подставим в первое уравнение:

\[(3y - 14)^2 - (3y - 14)y + y = 16\]

\[9y^2 - 84y + 196 - 3y^2 + 14y + y = 16\]

\[6y^2 - 69y + 180 = 0\]

\[2y^2 - 23y + 60 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-23)^2 - 4(2)(60) = 529 - 480 = 49\]

\[y_1 = \frac{23 + \sqrt{49}}{4} = \frac{23 + 7}{4} = \frac{15}{2}\]

\[y_2 = \frac{23 - \sqrt{49}}{4} = \frac{23 - 7}{4} = 4\]

Теперь найдем x:

Если y = 15/2, то x = 3(15/2) - 14 = 45/2 - 28/2 = 17/2

Если y = 4, то x = 3(4) - 14 = 12 - 14 = -2

Ответ: x = 17/2, y = 15/2 и x = -2, y = 4

5) Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} 2x + 3y = 3, \\ 3y^2 - 4x = 18 \end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: x = (3 - 3y) / 2

Подставим во второе уравнение:

\[3y^2 - 4(\frac{3 - 3y}{2}) = 18\]

\[3y^2 - 6 + 6y = 18\]

\[3y^2 + 6y - 24 = 0\]

\[y^2 + 2y - 8 = 0\]

\[(y + 4)(y - 2) = 0\]

Значит, y = -4 или y = 2

Теперь найдем x:

Если y = -4, то x = (3 - 3(-4)) / 2 = (3 + 12) / 2 = 15/2

Если y = 2, то x = (3 - 3(2)) / 2 = (3 - 6) / 2 = -3/2

Ответ: x = 15/2, y = -4 и x = -3/2, y = 2

6) Решите систему уравнений:

\[\begin{cases} 5x + y = -7, \\ (x + 4)(y - 5) = -4 \end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения: y = -7 - 5x

Подставим во второе уравнение:

\[(x + 4)(-7 - 5x - 5) = -4\]

\[(x + 4)(-12 - 5x) = -4\]

\[-12x - 5x^2 - 48 - 20x = -4\]

\[-5x^2 - 32x - 44 = 0\]

\[5x^2 + 32x + 44 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = 32^2 - 4(5)(44) = 1024 - 880 = 144\]

\[x_1 = \frac{-32 + \sqrt{144}}{10} = \frac{-32 + 12}{10} = -2\]

\[x_2 = \frac{-32 - \sqrt{144}}{10} = \frac{-32 - 12}{10} = -\frac{22}{5}\]

Теперь найдем y:

Если x = -2, то y = -7 - 5(-2) = -7 + 10 = 3

Если x = -22/5, то y = -7 - 5(-22/5) = -7 + 22 = 15

Ответ: x = -2, y = 3 и x = -22/5, y = 15

Ответ: Решения выше.

Отлично! Ты справился с этими сложными системами уравнений. Продолжай в том же духе, и математика станет твоим верным другом!