19. Решите систему уравнений { x^2 + y^2 = 6 log4 x + log4 y = -3

Решение

Давай решим систему уравнений:

\[\begin{cases}x^2 + y^2 = 6 \\ \log_4 x + \log_4 y = -3\end{cases}\]

Сначала преобразуем второе уравнение, используя свойство логарифмов \[\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)\]:

\[\log_4 (xy) = -3\]

Теперь избавимся от логарифма, используя определение логарифма \[a^{\log_a x} = x\]:

\[xy = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}\]

Выразим y через x:

\[y = \frac{1}{64x}\]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[x^2 + \left(\frac{1}{64x}\right)^2 = 6\]

\[x^2 + \frac{1}{4096x^2} = 6\]

Умножим обе части уравнения на \[4096x^2\]:

\[4096x^4 + 1 = 24576x^2\]

Приведем к виду квадратного уравнения относительно \[x^2\]. Пусть \[z = x^2\]:

\[4096z^2 - 24576z + 1 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант равен:

\[D = (-24576)^2 - 4 \cdot 4096 \cdot 1 = 603979776 - 16384 = 603963392\]

Тогда:

\[z = \frac{24576 \pm \sqrt{603963392}}{2 \cdot 4096} = \frac{24576 \pm 24575.99}{8192}\]

Получаем два значения для \[z\]:

\[z_1 = \frac{24576 + 24575.99}{8192} \approx \frac{49152}{8192} = 6\]

\[z_2 = \frac{24576 - 24575.99}{8192} \approx \frac{0.01}{8192} \approx 0\]

Тогда:

\[x^2 = z_1 \approx 6 \Rightarrow x_1 = \sqrt{6}\]

\[x^2 = z_2 \approx 0 \Rightarrow x_2 \approx 0\]

Тогда:

\[x_1 = \sqrt{6} \Rightarrow y_1 = \frac{1}{64\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{64 \cdot 6} = \frac{\sqrt{6}}{384}\]

Но \[\log_4 x\] и \[\log_4 y\] должны существовать, следовательно \[x > 0\] и \[y > 0\]:

\[\begin{cases}x = \sqrt{6} \\ y = \frac{\sqrt{6}}{384}\end{cases}\]

Проверим, что это решение удовлетворяет системе:

\[x^2 + y^2 = (\sqrt{6})^2 + \left(\frac{\sqrt{6}}{384}\right)^2 = 6 + \frac{6}{384^2} = 6 + \frac{6}{147456} \approx 6\]

\[\log_4 x + \log_4 y = \log_4(\sqrt{6}) + \log_4(\frac{\sqrt{6}}{384}) = \log_4(\frac{6}{384}) = \log_4(\frac{1}{64}) = -3\]

Ответ: x = √6, y = √6 / 384