19. Решите систему уравнений {x^2 + y^2 = 6 log4x+log4y = -3

Привет! Давай решим эту систему уравнений вместе.

Решение:

Для начала, давай перепишем систему, чтобы было понятнее, что мы ищем:

\[\begin{cases} x^{-\frac{1}{2}} + y^{-\frac{1}{2}} = 6 \\ \log_4 x + \log_4 y = -3 \end{cases}\]

Прежде чем продолжить, давай упростим второе уравнение, используя свойство логарифмов \[\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)\]:

\[\log_4 (xy) = -3\]

Теперь избавимся от логарифма, представив уравнение в экспоненциальной форме:

\[xy = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}\]

Итак, у нас есть, что \[xy = \frac{1}{64}\] или \[y = \frac{1}{64x}\]. Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение системы:

\[x^{-\frac{1}{2}} + \left(\frac{1}{64x}\right)^{-\frac{1}{2}} = 6\]

Это можно переписать как:

\[\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{64x} = 6\]

\[\frac{1}{\sqrt{x}} + 8\sqrt{x} = 6\]

Чтобы упростить, умножим обе части уравнения на \[\sqrt{x}\]:

\[1 + 8x = 6\sqrt{x}\]

Теперь сделаем замену переменной. Пусть \[t = \sqrt{x}\] , тогда \[t^2 = x\]. Наше уравнение станет:

\[8t^2 - 6t + 1 = 0\]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4\]

\[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{16} = \frac{6 \pm 2}{16}\]

Так что у нас два возможных значения для t:

\[t_1 = \frac{6 + 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}\]

\[t_2 = \frac{6 - 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}\]

Теперь вернемся к нашей переменной x, зная, что \[t = \sqrt{x}\]:

\[x_1 = t_1^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\]

\[x_2 = t_2^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}\]

И найдем соответствующие значения y, используя \[y = \frac{1}{64x}\]:

\[y_1 = \frac{1}{64 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1}{16}\]

\[y_2 = \frac{1}{64 \cdot \frac{1}{16}} = \frac{1}{4}\]

Итак, мы получили два решения:

\[(x_1, y_1) = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{16}\right)\]

\[(x_2, y_2) = \left(\frac{1}{16}, \frac{1}{4}\right)\]