Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика3 Решите систему уравнений: 1) 2) 4x² - 4xy + y² = 9, (3x² + 2xy - y² = 36; x²- xy = -8, y³ – xy = 24;
Ответ:
1)
Давай разберем первую систему уравнений:
\[\begin{cases} 4x^2 - 4xy + y^2 = 9 \\ 3x^2 + 2xy - y^2 = 36 \end{cases}\]Заметим, что первое уравнение можно представить как полный квадрат:
\[(2x - y)^2 = 9\]Извлекая квадратный корень, получим два случая:
\[2x - y = 3 \quad \text{или} \quad 2x - y = -3\]Теперь сложим первое и второе уравнения системы:
\[(4x^2 - 4xy + y^2) + (3x^2 + 2xy - y^2) = 9 + 36\] \[7x^2 - 2xy = 45\]Выразим y из первого уравнения: \(y = 2x - 3\) или \(y = 2x + 3\). Подставим эти выражения во второе уравнение.
Случай 1: \(y = 2x - 3\)
\[7x^2 - 2x(2x - 3) = 45\] \[7x^2 - 4x^2 + 6x = 45\] \[3x^2 + 6x - 45 = 0\] \[x^2 + 2x - 15 = 0\]Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \(D = 2^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64\). Корни:
\[x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5\]Теперь найдем соответствующие значения y:
Если \(x = 3\), то \(y = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3\).
Если \(x = -5\), то \(y = 2(-5) - 3 = -10 - 3 = -13\).
Случай 2: \(y = 2x + 3\)
\[7x^2 - 2x(2x + 3) = 45\] \[7x^2 - 4x^2 - 6x = 45\] \[3x^2 - 6x - 45 = 0\] \[x^2 - 2x - 15 = 0\]Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-2)^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64\). Корни:
\[x_3 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5\] \[x_4 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3\]Теперь найдем соответствующие значения y:
Если \(x = 5\), то \(y = 2(5) + 3 = 10 + 3 = 13\).
Если \(x = -3\), то \(y = 2(-3) + 3 = -6 + 3 = -3\).
Таким образом, решения системы:
\[(3, 3), (-5, -13), (5, 13), (-3, -3)\]2)
Рассмотрим вторую систему уравнений:
\[\begin{cases} x^2 - xy = -8 \\ y^2 - xy = 24 \end{cases}\]Вычтем из второго уравнения первое:
\[(y^2 - xy) - (x^2 - xy) = 24 - (-8)\] \[y^2 - x^2 = 32\] \[(y - x)(y + x) = 32\]Выразим \(xy\) из первого уравнения: \(xy = x^2 + 8\). Подставим это во второе уравнение:
\[y^2 - (x^2 + 8) = 24\] \[y^2 - x^2 - 8 = 24\] \[y^2 - x^2 = 32\]Это уравнение мы уже получили. Теперь выразим \(x\) из первого уравнения: \(x(x - y) = -8\), значит, \(x = \frac{-8}{x - y}\). Подставим это во второе уравнение:
\[y^2 - \frac{-8}{x - y}y = 24\]Другой подход: разделим второе уравнение на первое:
\[\frac{y^2 - xy}{x^2 - xy} = \frac{24}{-8}\] \[\frac{y(y - x)}{x(x - y)} = -3\] \[-\frac{y}{x} = -3\] \[y = 3x\]Подставим \(y = 3x\) в первое уравнение:
\[x^2 - x(3x) = -8\] \[x^2 - 3x^2 = -8\] \[-2x^2 = -8\] \[x^2 = 4\] \[x = \pm 2\]Если \(x = 2\), то \(y = 3(2) = 6\).
Если \(x = -2\), то \(y = 3(-2) = -6\).
Таким образом, решения системы:
\[(2, 6), (-2, -6)\]Ответ: 1) (3, 3), (-5, -13), (5, 13), (-3, -3); 2) (2, 6), (-2, -6)
