Решите систему уравнений: x² + y² = 53, xy = -14;

Решим систему уравнений:

$$ egin{cases} x^2 + y^2 = 53 \ xy = -14 end{cases} $$

Выразим y из второго уравнения:

$$ y = -\frac{14}{x} $$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$ x^2 + \left(-\frac{14}{x}\right)^2 = 53 $$ $$ x^2 + \frac{196}{x^2} = 53 $$

Умножим обе части уравнения на x²:

$$ x^4 + 196 = 53x^2 $$ $$ x^4 - 53x^2 + 196 = 0 $$

Пусть t = x², тогда уравнение примет вид:

$$ t^2 - 53t + 196 = 0 $$

Решим квадратное уравнение относительно t. Дискриминант D равен:

$$ D = (-53)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 196 = 2809 - 784 = 2025 $$

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

$$ t_1 = \frac{-(-53) + \sqrt{2025}}{2 \cdot 1} = \frac{53 + 45}{2} = \frac{98}{2} = 49 $$ $$ t_2 = \frac{-(-53) - \sqrt{2025}}{2 \cdot 1} = \frac{53 - 45}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$

Теперь найдем значения x:

$$ x^2 = 49 \Rightarrow x_1 = 7, x_2 = -7 $$ $$ x^2 = 4 \Rightarrow x_3 = 2, x_4 = -2 $$

Подставим значения x в уравнение y = -14/x, чтобы найти соответствующие значения y:

$$ x_1 = 7 \Rightarrow y_1 = -\frac{14}{7} = -2 $$ $$ x_2 = -7 \Rightarrow y_2 = -\frac{14}{-7} = 2 $$ $$ x_3 = 2 \Rightarrow y_3 = -\frac{14}{2} = -7 $$ $$ x_4 = -2 \Rightarrow y_4 = -\frac{14}{-2} = 7 $$

Ответ: (7, -2), (-7, 2), (2, -7), (-2, 7)